La distancia entre funciones
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Desde los trabajos de Fréchet y Hausdorff, que introdujeron las nociones de distancia y espacio métrico (véase el artículo « La génesis de los espacios »), estaba claro que estas nociones se aplicarían a espacios de funciones. También aquí, como hemos visto para el plano (en el artículo « Bolas en el plano ») y el espacio (en el artículo « Formas sorprendentes en el espacio »), las distancias proceden casi siempre de normas. A partir de estos espacios, estudiados por numerosos matemáticos, entre ellos el alemán David Hilbert y el húngaro Frigyes Riesz (1880–1956, que no debe confundirse con su hermano Marcel), se llegó al concepto de espacio de Banach, llamado así por el matemático polaco Stefan Banach (1892–1945), quien los estudió, junto con otros, a principios de la década de 1920.
Un espacio de Banach es sencillamente un espacio vectorial provisto de una norma en el que, de manera similar a lo que ocurre en el conjunto de los números reales, existe un criterio relativamente sencillo para demostrar que una sucesión de elementos converge… sin necesidad de conocer el límite.
Cuando las bolas se parecen a tubos
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Una de las normas más sencillas en los espacios de Banach se define en un conjunto de funciones continuas con valores reales. Tomemos, por ejemplo, las definidas en el intervalo [0, 1]. Si denotamos por E = C ([0, 1], ℝ) este conjunto, podemos definir en E el siguiente número positivo asociado a todo elemento f* de E:
