Formas sorprendentes en el espacio

El artículo anterior permitió comprobar que la noción de «bola» da lugar, ya en el plano, a formas sorprendentes. ¿Qué ocurre en el espacio?

Bolas que crecen… ---------------------------

Si p es un número real estrictamente positivo, en el espacio usual, es decir, en ℝ³, provisto de un sistema de referencia ortonormal, se define la norma N*_p* del vector de ℝ³ de coordenadas (x, y, z) mediante ${\text{N}}_p(x,y,z)=(\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^p{)}^{1\mathrm{/}p},\backslash text\{N\}\_p\; (x,\; y,\; z)\; =\; (\; |\; x\; |^p\; +\; |\; y\; |^p\; +\; |\; z\; |^p\; )\; ^\{1/p\},$ exactamente como se hace para los vectores del plano (véase la página 36). Esta operación permite después definir la distancia asociada a N*_p*.

Como en el plano, N*_p solo es una norma para p ≥ 1. Para p = 2, recuperamos la distancia euclídea, para la cual el camino más corto entre dos puntos es una línea recta. Para p = 1, la distancia desde el origen O(0, 0, 0) hasta el punto de coordenadas (x, y, z*) se obtiene mediante un camino formado por tres segmentos paralelos a los ejes, que generaliza la distancia «Manhattan».

La bola unidad B*_p(O, 1) del espacio, o más sencillamente B_p, se define de forma similar a la del plano; su frontera* («borde») es la superficie de ecuación $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^p=1.|\; x\; |^p\; +\; |\; y\; |^p\; +\; |\; z\; |^p\; =\; 1.$