A comienzos mismos del 20e siglo se hizo patente la necesidad de introducir la noción de «distancia» y el concepto de «espacio métrico». Esto se inscribe en el contexto más general de un espectacular paso hacia la abstracción en el ámbito de las estructuras matemáticas, llevado a cabo durante el medio siglo anterior.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897).
En la década de 1860, impulsadas principalmente por Karl Weierstrass, se establecieron las nociones de continuidad y límite, definidas con precisión mediante el valor absoluto de diferencias que tienden a 0.
En la década de 1870, la teoría de conjuntos se desarrolla gracias a los alemanes Georg Cantor y Richard Dedekind y a la formalización del matemático italiano Giuseppe Peano. Poco después, sus compatriotas Vito Volterra y Salvatore Pincherle se interesan por espacios cuyos elementos ya no son puntos, sino funciones. Fundan así lo que se denomina análisis funcional, nombre propuesto por el matemático francés Paul Lévy.
