La distancia habitual, la que corresponde a la línea recta como camino más corto entre dos puntos M1 y M2 del plano, es la distancia euclidiana; la denotaremos aquí por d (M1, M2). Pero pueden definirse muchas otras distancias. En nuestro plano habitual provisto de un sistema de coordenadas ortonormado, asociaremos a cada punto sus coordenadas, dadas por un par de números reales (su abscisa y su ordenada). A cada distancia considerada le corresponden «bolas»: una bola de centro M0 y radio r es el conjunto de los puntos cuya distancia a M0 es menor o igual que r. Este término genérico se emplea en todos los espacios métricos. En este caso, las bolas son planas: por ejemplo, las bolas asociadas a la distancia euclidiana son los discos.
A base de horizontales y verticales
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Empecemos por una distancia ligada a una norma, la norma 1. Si M1(x1, y1) y M2(x2, y2) son dos puntos del plano, la distancia d1 entre ambos puntos se define por:
d1(M1, M2) = | x2 – x1| + | y2 – y1|.
Se demuestra fácilmente que d1 cumple las tres condiciones necesarias para ser una distancia.
