La distanza abituale, quella della linea retta come percorso più breve fra due punti M1 e M2 del piano, è la distanza euclidea; la indicheremo qui con d (M1, M2). Ma si possono definire molte altre distanze. Nel consueto piano munito di un sistema di riferimento ortonormale, associamo a ciascun punto le sue coordinate, fornite da una coppia di numeri reali (la sua ascissa e la sua ordinata). A ogni distanza considerata sono associate delle «palle»: una palla di centro M0 e raggio r è l’insieme dei punti la cui distanza da M0 è minore o uguale a r. Questo termine generico è usato in tutti gli spazi metrici. In questo caso, le palle sono piane: per esempio, le palle associate alla distanza euclidea sono i dischi.
A colpi di orizzontali e verticali --------------------------------------
Cominciamo con una distanza legata a una norma, la norma 1. Se M1(x1, y1) e M2(x2, y2) sono due punti del piano, la distanza d1 fra questi due punti è definita da: d1(M1, M2) = | x2 – x1| + | y2 – y1|.
Si dimostra facilmente che d1 soddisfa le tre condizioni richieste per essere una distanza.