La distanza tra le funzioni
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Fin dai lavori di Fréchet e Hausdorff, che introdussero le nozioni di distanza e di spazio metrico (vedi l’articolo « La genesi degli spazi »), era chiaro che tali nozioni si sarebbero applicate agli spazi di funzioni. Anche qui, come abbiamo visto per il piano (nell’articolo « Delle sfere nel piano ») e lo spazio (nell’articolo « Forme sorprendenti nello spazio »), le distanze derivano per lo più da norme. Da questi spazi, studiati da numerosi matematici, fra cui il tedesco David Hilbert e l’ungherese Frigyes Riesz (1880–1956, da non confondere con il fratello Marcel), si giunse al concetto di spazio di Banach, dal nome del matematico polacco Stefan Banach (1892–1945), che li studiò, insieme ad altri, all’inizio degli anni Venti.
Uno spazio di Banach è semplicemente uno spazio vettoriale munito di una norma nel quale, analogamente a quanto accade nell’insieme dei numeri reali, esiste un criterio relativamente semplice per dimostrare che una successione di elementi converge… senza dover necessariamente conoscerne il limite.
Quando le sfere assomigliano a tubi
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Una delle norme più semplici negli spazi di Banach è definita su un insieme di funzioni continue a valori reali. Prendiamo per esempio quelle definite sull’intervallo [0, 1]. Se indichiamo questo insieme con E = C ([0, 1], ℝ), possiamo definire su E il seguente numero positivo associato a ogni elemento f* di E:
