Tutti hanno sentito parlare dello spazio detto euclideo, un insieme di punti in cui pratichiamo la geometria da quando le nozioni di sistema di riferimento e coordinate sono state messe a disposizione del mondo matematico. Con qualche adattamento e uno sforzo di modellizzazione della realtà, la dimensione 3 corrisponde pressoché a ciò che possiamo percepire dell’ambiente in cui viviamo, mentre la dimensione 2 è il piano delle rappresentazioni, dalla lavagna alla pagina del quaderno.
Lo spazio in tutte le sue forme ----------------------------
La nozione astratta di spazio matematico corrisponde però a una concezione ben diversa da quella dettata dalla nostra intuizione. La sua concettualizzazione riflette la volontà di classificare e cartografare le conoscenze, ma anche, in una prospettiva di universalità, di riunire idee simili. Uno spazio è infatti una sorta di «ambiente di lavoro» per il matematico, ottenuto dotando un insieme di una struttura (una «cassetta degli attrezzi») che può provenire dall’algebra, dall’analisi o persino dalla geometria.
I ragionamenti e i calcoli consueti (per esempio sui numeri reali) eseguiti con una data struttura resteranno validi anche cambiando l’oggetto di studio. Si potranno così applicare queste tecniche agli insiemi di numeri, di vettori, di funzioni… o persino agli insiemi di insiemi.
Un insieme E, se dotato di una struttura algebrica (operazioni + e ∙ che soddisfano determinate condizioni), diventa uno spazio vettoriale sul quale si possono svolgere ragionamenti algebrici e geometrici. Se lo stesso insieme è dotato di una struttura topologica, diventa uno spazio topologico e ci si addentra allora nell’analisi (limiti, continuità di una funzione, convergenza di successioni…).