Astratta e puramente algebrica, la nozione di gruppo? Tutt’altro! In geometria, permette di non lasciarsi travolgere dalla profusione e dalla varietà apparenti delle trasformazioni, oppure di cogliere i diversi tipi di simmetria che si possono incontrare.
Il pianeta della geometria si chiama spazio affine. È un insieme di punti, in genere definiti mediante un sistema di riferimento composto da un’origine, spesso chiamata O, e da un certo numero di assi: due per un piano, tre per lo spazio usuale… Questa dimensione è quella dello spazio vettoriale associato a tale spazio affine (vedi riquadro).
Nello spazio affine A, come nello spazio vettoriale associato E, si possono definire trasformazioni. Cominciamo da quelle di E. Studieremo una categoria ben precisa fra esse: le applicazioni lineari da E in E, dette endomorfismi di E, il cui insieme si indica con L(E). Sono applicazioni f da E in E che verificano la proprietà seguente:
Per tutti i reali λ e μ, e per tutti i vettori V e W,
