Un gruppo finito è interamente definito dalla sua tabella. Se l’ordine del gruppo è n, la tabella comprende n2 caselle. Quando n non è più «troppo piccolo», non è facile individuare strutture in una simile tabella. Molti gruppi possiedono uno o più generatori, che costituiscono un sottoinsieme del gruppo le cui diverse combinazioni, mediante l’operazione di gruppo, generano tutti gli elementi del gruppo. In questo caso il matematico britannico Arthur Cayley (1821−1895) usa un grafo per rappresentare il gruppo: il diagramma di Cayley.
Usa persino i colori per distinguere i generatori. Naturalmente, un dato gruppo può avere più diagrammi, a seconda dei generatori scelti.
Grafi e generatori
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Un diagramma di Cayley è un grafo orientato i cui vertici sono gli elementi del gruppo e i cui archi sono i generatori. Per ogni vertice vi sono due archi per generatore, uno entrante e uno uscente. Se il vertice V è collegato al vertice W dall’arco orientato S, ciò significa che W = SV, scrivendo l’operazione di gruppo in forma moltiplicativa, come fecero Cayley, poi William Burnside (1852−1927) e Harold Scott MacDonald Coxeter (1907−2003).
