Sophus Lie e i gruppi di trasformazioni continue
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Il norvegese Sophus Lie nacque nel 1842. Sua madre morì quando aveva 9 anni. Malgrado una statura imponente e una forza fisica non comune, dovette rinunciare alla carriera militare a causa di una vista carente. Proseguì quindi gli studi scientifici all’università, dove insegnava, tra gli altri, Ludwig Sylow.
Lie scoprì la geometria proiettiva leggendo le opere di Jean-Victor Poncelet (1788–1867) e Julius Plücker (1801–1868). A 27 anni ottenne una borsa di studio per andare a Berlino, dove incontrò Felix Klein. Divennero amici. Si recarono insieme a Göttingen, poi a Parigi. Ma era il 1870 e scoppiò la guerra tra la Prussia e la Francia. Klein tornò a Berlino. Dopo varie peripezie, Lie rientrò in Norvegia dove, dopo il dottorato nel 1872, ottenne una cattedra creata appositamente per lui. Vi rimase fino al 1886, anno in cui partì per Lipsia per succedere a Klein, che era invece partito per Göttingen.
Molti studenti francesi, in particolare dell’École normale supérieure, si sarebbero recati a Lipsia per studiare con Lie il concetto di gruppo. Egli stesso sarebbe venuto più volte in Francia. Sofferente di depressione nervosa e spezzato, rientrò in Norvegia nel 1898 per morire l’anno seguente.
Dopo l’introduzione dei gruppi da parte di Galois in algebra e di Klein in geometria, fu Sophus Lie a introdurre queste nozioni nell’analisi, creando la teoria dei gruppi di trasformazioni continue (oggi gruppi di Lie) e tutte le tecniche ad essa collegate. La espose in tre volumi pubblicati tra il 1888 e il 1893.
Sophus Lie.
All’incrocio tra algebra e geometria
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Il concetto di gruppo di Lie permette di associare due idee a priori assai diverse: una struttura algebrica, quella di gruppo, e una nozione di geometria differenziale, quella di varietà, che permette di parlare di elementi «vicini gli uni agli altri», di variazioni, di analisi infinitesimale… Un insieme G, dotato di una legge di composizione interna \, è un gruppo di Lie se (G, \) è un gruppo e se, inoltre, si può dotare G di una struttura differenziale tale che le due operazioni del gruppo, ossia la legge \* e l’inversione, siano differenziabili.
Uno degli esempi più eloquenti è il gruppo delle rotazioni del piano aventi come centro un punto O dato. Si possono rappresentare mediante matrici 2 × 2 del tipo dove θ è un qualunque numero reale.
Questo insieme di rotazioni, dotato della composizione delle applicazioni, forma effettivamente un gruppo: la composta di due rotazioni di angoli θ e θ ’ è la rotazione di angolo θ + θ ’ e l’inversione si ottiene prendendo la rotazione di angolo – θ. Queste due operazioni sono effettivamente differenziabili su .
Le applicazioni alla fisica
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La fisica delle particelle fondamentali si è evoluta nel corso del 20º secolo, ma si fonda essenzialmente sullo studio delle simmetrie che queste particelle presentano. Tali simmetrie sono descritte da gruppi di trasformazioni continue. È il caso, tipicamente, della meccanica quantistica (con, per esempio, i lavori di Hermann Weyl ed Eugene Wigner), ma anche della relatività, in seguito ad alcuni lavori, in particolare quelli di Henri Poincaré (vedi il nostro fuori serie 79) e di Hermann Minkowski. In modo un po’ provocatorio, si può dire che la teoria dei gruppi abbia «invaso» la fisica teorica moderna.
Molto spesso, i gruppi che intervengono in queste diverse teorie sono gruppi di Lie. Vi ritroviamo i ben noti gruppi classici: sono particolari sottogruppi del gruppo lineare GL *n (), il gruppo delle applicazioni lineari invertibili di , oppure di GLn*(), il suo equivalente sull’insieme dei numeri complessi.
Riferimenti:
• Le equazioni della fisica moderna. Bibliothèque Tangente 71, 2019.
• Gli invarianti. Bibliothèque Tangente 47, 2013.
• Henri Poincaré, all’incrocio delle scienze. Fuori serie 79 di Tangente, 2021.
