I gruppi

È difficile immaginare l'algebra senza la teoria dei gruppi. Eppure, è solo a partire dall'inizio del XIX secolo che la nozione si sviluppa, presente implicitamente nei lavori di Lagrange, poi introdotta da Galois. Inizialmente limitata ai soli gruppi delle permutazioni di un insieme, la nozione si è progressivamente imposta in tutti i rami della matematica per studiare non più solo gli oggetti, ma anche le relazioni tra di essi. La definizione formale di un gruppo appare solo alla fine del XIX secolo. Si sviluppano allora moltissimi strumenti per utilizzare, catalogare, costruire i numerosi esempi di questa struttura unificatrice che travolge la matematica… e tutte le scienze. Santo Graal ultimo, il teorema di classificazione dei gruppi finiti semplici conosce ancora ripercussioni oggi.

La notion de groupe, de par sa nature structurante, est centrale en algèbre. Mais elle est aussi indispensable en géométrie, où elle permet de comprendre, de classer, de relier, d’étudier les transformations, voire de caractériser différentes géométries. Ainsi, si les symétries n’expliquent pas tout, elles sont souvent présentes, quelquefois de manière invisible. Mais le concept de groupe ne s’arrête pas là : il a investi d’autres domaines comme l’analyse infinitésimale et la physique mathématique, où les groupes de Lie ont une importance cruciale.

Si le groupe est omniprésent dans les mathématiques « pures et dures », d’autres domaines s’en sont emparés, conscients des atouts que sa présence apportait : compréhension de phénomènes complexes, techniques nouvelles, unification des idées… sans compter l’attrait qu’une structure abstraite exerce sur notre pensée. En ethnologie, Claude Lévi-Strauss a utilisé les groupes pour modéliser des relations de parenté dans certaines populations. En cryptologie, l’« arithmétique de l’horloge » est présente pour toute opération de chiffrement ou déchiffrement. L’art n’est pas en reste, que ce soit en musique, littérature ou peinture. Les Barres de bois rond d’André Cadere restent emblématiques de la représentation artistique des groupes de permutations.