Un indovinello… --------------
Secondo voi, da quali manuali sono tratte queste due definizioni?
Prima definizione:
«Sia E un insieme dotato di un’operazione indicata con ⋆\star. Si dice che (E, ⋆\star) è un gruppo se e solo se:
1) L’operazione interna è associativa.
2) Esiste un elemento neutro.
*3) Ogni elemento di E ha un inverso in E. Si dirà che (E, ⋆\star) è un gruppo commutativo se inoltre:*
4) L’operazione interna è commutativa.»
Seconda definizione:
«Struttura di gruppo – Un insieme E ha una struttura di gruppo rispetto a una legge di composizione interna indicata con ⋆\star se:
1) Questa legge è associativa: (a ⋆\star b) ⋆\star c = a ⋆\star (b ⋆\star c).
2) Questa legge ammette un elemento neutro e: a ⋆\star e = e ⋆\star a = a.
3) Ogni elemento a ammette un inverso a’: a ⋆\star a’ = a’ ⋆\star a = e.
Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se a ⋆\star b = b ⋆\star a.»
Da un libro universitario di livello L1 o L2? Non ci siete!
La prima è tratta da un manuale di quarta del 1973 (*Mathématique, 4ª*, serie rossa, collana Queysanne-Revuz, Fernand Nathan, 1973, programma del 1971, pagina 28).
La seconda definizione proviene da un manuale di terminale C, D, T del 1967 (Algèbre et Analyse, collana Lebossé e Hémery, Fernand Nathan, 1967, programma del 1966, pagina 26).
Prima delle «matematiche moderne», già! ------------------------------------
Già nei programmi degli anni Sessanta, dunque prima del periodo che sarà chiamato delle «matematiche moderne», nelle classi scientifiche si affrontano progressivamente nozioni di teoria degli insiemi e nozioni sulle strutture di gruppo, anello e campo. Questo mette in qualche modo ordine, organizza le conoscenze per trovare una certa unità nella matematica. Ha un senso e sembra abbastanza naturale a questi studenti delle sezioni scientifiche.
Per esempio, nei programmi delle seconde A’, C, M, M’ del 18 luglio 1960, nella parte «Le nozioni “moderne”. Il vocabolario e il simbolismo», si può leggere:
«Anche altre nozioni, come quelle riguardanti le strutture di insiemi — gruppi, anelli, campi — potranno essere introdotte, a condizione che il terreno sia stato prima accuratamente preparato; possono facilitare la presentazione di alcune sintesi e consentire confronti utili per il futuro.»
Un piccolo esercizio… ------------------
Ecco un esercizio tratto da un manuale di 4ª del 1971 (Mathématiques, classe de quatrième, collana Monge, Belin, 1971, programma del 1971, pagina 44), proposto subito dopo la definizione.
*«Si consideri l’insieme E = {a, b, c, d}. Sia ⋆\star l’operazione su PE , definita nel modo seguente:*
Per ogni coppia (A, B) di sottoinsiemi di E, la composizione di A e B è l’intersezione di A e B: A ⋆\star B = A > B.
1) Determinare le seguenti composizioni: {a} ⋆\star {b}; {a} ⋆\star {a, c}; {a, b, c} ⋆\star {c, d, a}, {b, d} ⋆\star E.
2) L’operazione ⋆\star è commutativa? Associativa?
3) Sia A un sottoinsieme di E. Determinare le composizioni A ⋆\star E ed E ⋆\star A. Dedurne che E è un elemento neutro per l’operazione ⋆\star.
4) Esiste un sottoinsieme A di E tale che {a, b} ⋆\star A = E?
*5) L’insieme PE , dotato dell’operazione ⋆\star, è un gruppo? »*
In quarta, nel periodo 1971-1973, la definizione di gruppo è illustrata dall’insieme (Z\Bbb{Z}, +) dei numeri interi e da quello dei numeri decimali (D\Bbb{D}, +). In terza si constaterà che l’insieme delle isometrie è un gruppo rispetto all’operazione di composizione delle applicazioni.
Ricordi per chi ha ricevuto questa formazione, talvolta con gioia, talvolta con disperazione. Resta la domanda: non sarebbe opportuno reintrodurre alcune nozioni di strutture nell’insegnamento secondario?