Un acertijo… --------------
¿A qué manuales cree que pertenecen estas dos definiciones?
Primera definición:
«Sea E un conjunto provisto de una operación denotada ⋆\star. Se dice que (E, ⋆\star) es un grupo si y solo si:
1) La operación interna es asociativa.
2) Existe un elemento neutro.
*3) Todo elemento de E tiene un inverso en E. Se dirá que (E, ⋆\star) es un grupo conmutativo si, además:*
4) La operación interna es conmutativa.»
Segunda definición:
«Estructura de grupo – Un conjunto dado E admite una estructura de grupo para una ley de composición interna denotada ⋆\star si:
1) Esta ley es asociativa: (a ⋆\star b) ⋆\star c = a ⋆\star (b ⋆\star c).
2) Esta ley admite un elemento neutro e: a ⋆\star e = e ⋆\star a = a.
3) Todo elemento a admite un inverso a’: a ⋆\star a’ = a’ ⋆\star a = e.
Se dice que un grupo es conmutativo (o abeliano) si a ⋆\star b = b ⋆\star a.»
¿De un libro universitario de nivel L1 o L2? ¡No ha acertado!
La primera está extraída de un manual de cuarto curso de secundaria de 1973 (*Mathématique, 4e*, serie roja, colección Queysanne-Revuz, Fernand Nathan, 1973, programa de 1971, página 28).
La segunda definición procede de un manual de último curso de secundaria, modalidades C, D y T, de 1967 (Algèbre et Analyse, colección Lebossé et Hémery, Fernand Nathan, 1967, programa de 1966, página 26).
¡Incluso antes de las «matemáticas modernas»! ------------------------------------
Ya en los programas de la década de 1960, antes, por tanto, del período que se denominará «matemáticas modernas», se abordaban progresivamente en las clases científicas nociones de teoría de conjuntos y nociones sobre las estructuras de grupo, anillo y cuerpo. Todo ello contribuye, en cierto modo, a ordenar el saber y a encontrar cierta unidad en las matemáticas. Tiene sentido y parece bastante natural para estos alumnos, que cursan las secciones científicas.
Por ejemplo, en los programas de primer curso de secundaria superior A’, C, M y M’, de 18 de julio de 1960, se puede leer, en la parte «Las nociones “modernas”. El vocabulario y el simbolismo»:
«También podrán introducirse otras nociones, como las relativas a las estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos, siempre que el terreno se haya preparado antes cuidadosamente; pueden facilitar la presentación de determinadas síntesis y permitir comparaciones útiles para el futuro.»
Un pequeño ejercicio… ------------------
He aquí un ejercicio de un manual de 4.ª de 1971 (Mathématiques, classe de quatrième, colección Monge, Belin, 1971, programa de 1971, página 44), propuesto inmediatamente después de establecer la definición.
*«Consideremos el conjunto E = {a, b, c, d}. Sea ⋆\star la operación definida sobre PE de la siguiente manera:*
Para todo par (A, B) de subconjuntos de E, el resultado de operar A y B es igual a la intersección de A y B: A ⋆\star B = A > B.
1) Determinar los siguientes resultados: {a} ⋆\star {b}; {a} ⋆\star {a, c}; {a, b, c} ⋆\star {c, d, a}, {b, d} ⋆\star E.
2) ¿Es conmutativa la operación ⋆\star? ¿Asociativa?
3) Sea A un subconjunto de E. Determinar los resultados A ⋆\star E y E ⋆\star A. Deducir de ello que E es un elemento neutro para la operación ⋆\star.
4) ¿Existe algún subconjunto A de E para el que se cumpla: {a, b} ⋆\star A = E?
*5) ¿Es el conjunto PE , provisto de la operación ⋆\star, un grupo?»*
En 4.º, durante el período 1971-1973, la definición de grupo se ilustra mediante el conjunto (Z\Bbb{Z}, +) de los números enteros y mediante el de los números decimales exactos (D\Bbb{D}, +). En 3.º, se comprobará que el conjunto de las isometrías es un grupo para la operación de composición de aplicaciones.
Recuerdos para quienes recibieron esta formación, a veces con alegría, a veces con desesperación. Queda la pregunta: ¿no sería oportuno reintroducir algunas nociones de estructuras en la enseñanza secundaria?