El grupo de los fundadores
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Tras los trabajos de Gauss sobre las formas cuadráticas, en los que aparece la noción de ley de composición, fue con la resolución de las ecuaciones polinómicas, es decir, de la forma P(X) = 0 (donde P es un polinomio), cuando todo comenzó realmente. ¿Por qué algunas ecuaciones de este tipo son resolubles mediante radicales y otras no? El objetivo consiste en expresar las soluciones de la ecuación polinómica P(X) = 0 en función de los coeficientes de P, utilizando únicamente las cuatro operaciones elementales y la extracción de raíces. Del mismo modo que podemos expresar las soluciones de la ecuación de segundo grado aX2 + bX + c = 0 en función de a, b y c mediante las cuatro operaciones elementales y la raíz cuadrada, los matemáticos italianos encontraron en el siglo XVI métodos para los polinomios de grados 3 y 4. Joseph-Louis Lagrange, interesado en esta cuestión, trata de comprender por qué parecen faltar generalizaciones de esos métodos para los grados posteriores. El noruego Niels Abel prosigue esta línea y da la respuesta para el grado 5.
Sin embargo, fue Évariste Galois quien dio la explicación completa en unos trabajos notables, pero desconocidos durante su vida: una ecuación es resoluble mediante radicales si un grupo asociado a ella posee una propiedad particular.
