La resolución de ecuaciones algebraicas siempre ha interesado a los matemáticos. Las técnicas para resolver las de grado 2 se conocían, al menos en numerosos casos particulares, ya en la Antigüedad, entre los babilonios o los egipcios, por ejemplo. En el caso de las ecuaciones de grado 3, tras los intentos de los matemáticos árabes de resolverlas geométricamente o de forma aproximada, hubo que esperar al 16.º siglo y a los algebristas italianos, como Scipione del Ferro (1465–1526), Niccolo Fontana, llamado Tartaglia (1499–1557), y Girolamo Cardano (1501–1576), para disponer de un método de resolución. Las de cuarto grado siguieron poco después, y fue el italiano Lodovico Ferrari (1522–1565), alumno de Cardano, quien propuso, en la década de 1540, un método que permite reducir el problema a una ecuación de grado 3. Dos siglos más tarde, en 1770, Lagrange propuso otro método (véase el artículo « Primer paso hacia el concepto de grupo ») en el que puso de manifiesto el papel de las permutaciones mediante la definición de cantidades auxiliares, hoy llamadas resolventes de Lagrange. La ecuación construida así es de grado 3 y, por tanto, resoluble por radicales (es decir, utilizando únicamente las cuatro operaciones +, ?, ×, / y la extracción de raíces enésimas), lo que permite calcular después las soluciones de la ecuación inicial.
¿Y para el grado 5? --------------------
Surge entonces una pregunta: ¿permitirán estos métodos resolver ecuaciones de grado 5? En 1800, tras haber presentado una primera demostración (incompleta) del teorema fundamental del álgebra, según el cual toda ecuación polinómica admite al menos una raíz compleja —lo que implica que una ecuación de grado n posee n soluciones complejas—, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) expresó dudas sobre la resolución mediante radicales de las ecuaciones de grado 5, pero no demostró su imposibilidad. El italiano Paolo Ruffini (1765–1822), médico y matemático, publicó desde 1799 diversas demostraciones de esa imposibilidad. Todas sus tentativas se basaban en el estudio de las permutaciones de las soluciones y en la imposibilidad de formar una ecuación auxiliar de grado inferior a 5. Para ello, compone permutaciones e introduce la noción de orden de una permutación: todas estas técnicas son propias de la noción de grupo. Pero sus demostraciones, muy largas, contienen lagunas, y le cuesta lograr reconocimiento. Solo Augustin Louis Cauchy (1789–1857) aprovechó el trabajo de Ruffini en sus estudios sobre las permutaciones, publicados entre 1813 y 1815.
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