La clasificación de los grupos finitos simples

En la década de 1980 concluyó la clasificación de los grupos finitos simples, llamada también teorema de clasificación o, a veces, teorema gigante o incluso teorema enorme. La demostración era, en efecto, colosal y constaba de miles de páginas publicadas en varios cientos de artículos de revistas escritos por numerosísimos matemáticos a lo largo del 20^.º siglo. Desde entonces, han aparecido algunas lagunas, que luego se han subsanado, y se han realizado simplificaciones: la demostración actual, llamada de segunda generación, sigue en proceso de redacción. Es, sin duda, la demostración matemática más larga jamás escrita.

¡Y, sin embargo, es sencillo! -----------------------

¿Qué es un grupo finito simple? Para empezar, es un grupo finito, G. Además, G es simple si no contiene ningún subgrupo normal no trivial (véase el artículo «Las estructuras cociente»), es decir, distinto de él mismo y del subgrupo reducido al elemento neutro {e}. Esta noción de grupo simple fue introducida por Évariste Galois en sus estudios sobre la resolución de ecuaciones algebraicas mediante radicales.

Los grupos $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}\backslash Bbb\; Z\; /p\backslash Bbb\; Z$, con la suma como operación, son simples si p es primo. En efecto, según el teorema de Lagrange, el orden de un subgrupo divide el orden del grupo; por consiguiente, si el orden del grupo es primo, como aquí, no hay subgrupos no triviales y, por tanto, a fortiori, tampoco subgrupos normales. De hecho, estos grupos son los únicos grupos finitos simples de orden primo. También son los únicos que son abelianos.

También pueden citarse, como ejemplos de grupos finitos simples, los grupos alternados A*_n de las permutaciones pares de n elementos para n* ≥ 5; precisamente en virtud de este resultado esos grupos no son resolubles (véase el artículo «La genial aportación de Galois») y, en consecuencia, las ecuaciones polinómicas de grado n ≥ 5 no siempre son resolubles mediante radicales. Cabe señalar que A₂ y A₃ son simples, mientras que A₄ no lo es, pues contiene un subgrupo normal isomorfo al grupo de Klein (véase el artículo «El grupo de Klein y sus avatares»).