En 1770, Lagrange presenta una extensa memoria, que se leerá a lo largo de 1771: Réflexions sur la résolution algébrique des équations. Esto es lo que escribe en la introducción:
«En lo que respecta a la resolución de ecuaciones literales, apenas se ha avanzado más de lo que se había avanzado en tiempos de Cardano, que fue el primero en publicar la de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. […] Me propongo en esta memoria examinar los distintos métodos que se han encontrado hasta ahora para la resolución algebraica de ecuaciones, reducirlos a principios generales y mostrar a priori por qué estos métodos tienen éxito para el tercer y el cuarto grado y fallan para los grados posteriores. Este examen tendrá una doble ventaja: por una parte, servirá para arrojar más luz sobre las resoluciones conocidas del tercer y cuarto grado; por otra, será útil para quienes deseen ocuparse de la resolución de grados superiores, al ahorrarles un gran número de pasos y tentativas inútiles.»
Se trata, pues, de comprender los principios generales que rigen la resolución de ecuaciones de grado 2, 3 o 4, para ver si pueden aplicarse a ecuaciones de cualquier grado. Su idea consiste en hallar funciones polinómicas sencillas de las raíces que sean solución de una ecuación de grado inferior al de la ecuación inicial y cuyos coeficientes sean invariantes bajo las permutaciones de las raíces. Es lo que se llamará el método de resolución de Lagrange.
Para el cuarto grado
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Tomemos, a la manera de Lagrange, un ejemplo algo simplificado de ecuación polinómica de cuarto grado. Consideremos la ecuación polinómica ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. En primer lugar, será fácil reducirla a y4 + py2 + qy + r = 0 mediante el cambio de variable x = y − b / (4a). Esta nueva ecuación ya no tiene términos de grado 3.
