En 1770, Lagrange présente un mémoire volumineux, qui sera lu dans le courant de l’année 1771 : Réflexions sur la résolution algébrique des équations. Voici ce qu’il écrit en introduction :
« À l’égard de la résolution des équations littérales, on n’est guère plus avancé qu’on ne l’était au temps de Cardan, qui le premier a publié celle des équations du troisième et du quatrième degré. […] Je me propose dans ce mémoire d’examiner les différentes méthodes que l’on a trouvées jusqu’à présent pour la résolution algébrique des équations, de les réduire à des principes généraux, et de faire voir a priori pourquoi ces méthodes réussissent pour le troisième et le quatrième degré, et sont en défaut pour les degrés ultérieurs. Cet examen aura un double avantage : d’un côté il servira à répandre une plus grande lumière sur les résolutions connues du troisième et du quatrième degré ; de l’autre il sera utile à ceux qui voudront s’occuper de la résolution des degrés supérieurs, en leur épargnant un grand nombre de pas et de tentatives inutiles. »
Il s’agit donc de comprendre les principes généraux qui régissent la résolution des équations de degré 2, 3 ou 4, pour voir s’ils peuvent s’appliquer à des équations de degré quelconque. Son idée est de trouver des fonctions polynomiales simples des racines, qui soient solution d’une équation de degré inférieur à celui de l’équation de départ, dont les coefficients soient invariants par permutations des racines. C’est ce qui sera nommé la méthode de résolution de Lagrange.
Avec le degré 4
---------------
Prenons l’exemple d’une équation polynomiale du quatrième degré, à la manière de Lagrange, un peu simplifiée. Soit ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 l’équation polynomiale. Il sera en premier lieu facile de se ramener à y4 + py2 + qy + r = 0 en faisant le changement de variable x = y − b / (4a). Cette nouvelle équation n’a plus de termes de degré 3.
