Nel 1770 Lagrange presentò una voluminosa memoria, che fu letta nel corso del 1771: Réflexions sur la résolution algébrique des équations. Ecco cosa scrisse nell’introduzione:
«Quanto alla risoluzione delle equazioni letterali, si è progrediti ben poco rispetto ai tempi di Cardano, che per primo pubblicò quella delle equazioni di terzo e quarto grado. […] Mi propongo in questa memoria di esaminare i diversi metodi finora trovati per la risoluzione algebrica delle equazioni, di ricondurli a principi generali e di mostrare a priori perché questi metodi riescono per il terzo e il quarto grado e falliscono per i gradi successivi. Questo esame avrà un duplice vantaggio: da un lato contribuirà a far maggiore luce sulle risoluzioni note delle equazioni di terzo e quarto grado; dall’altro sarà utile a quanti vorranno occuparsi della risoluzione dei gradi superiori, risparmiando loro un gran numero di passaggi e tentativi inutili.»
Si tratta dunque di comprendere i principi generali che regolano la risoluzione delle equazioni di grado 2, 3 o 4, per vedere se possano applicarsi a equazioni di grado qualsiasi. L’idea è trovare semplici funzioni polinomiali delle radici, soluzioni di un’equazione di grado inferiore a quello dell’equazione iniziale, i cui coefficienti siano invarianti rispetto alle permutazioni delle radici. È quello che verrà chiamato metodo di risoluzione di Lagrange.
Con il quarto grado
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Prendiamo l’esempio di un’equazione polinomiale di quarto grado, sul modello di Lagrange e in forma un po’ semplificata. Sia ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 l’equazione polinomiale. Anzitutto è facile ricondursi a y4 + py2 + qy + r = 0 mediante il cambiamento di variabile x = y − b / (4a). Questa nuova equazione non contiene più termini di terzo grado.
