Alcuni esempi di gruppi

Il gruppo simmetrico --------------------

Una permutazione (si parla anche di sostituzione) di un insieme E con n elementi è una biiezione di tale insieme in sé stesso. Ciò equivale, in effetti, a ordinare gli elementi in modo diverso. Per studiare le permutazioni, in genere si considera l’insieme dei numeri interi {1, 2, 3… n}. Vi si può sempre ricondurre numerando gli elementi dell’insieme E preso in esame.

L’insieme di tutte le permutazioni di {1, 2, 3… n} forma un gruppo rispetto alla composizione delle applicazioni, chiamato gruppo simmetrico di grado n; si indica con σ*_n oppure S_n *.

Questo gruppo è finito:

contiene n! = n × (n − 1) × (n − 2) ×… × 2 × 1 elementi. Infatti, vi sono n scelte possibili per assegnare un’immagine a 1, ne restano n − 1 per associare un’immagine a 2, e così via; per n resta una sola immagine possibile. Questo numero, chiamato fattoriale di n, cresce molto rapidamente con n; così σ₃ possiede sei elementi, σ₄ ne possiede 24 e σ₁₀ ne ha 3 628 800.