Come classificare i gruppi? È davvero possibile, e secondo quali criteri? Per rispondere a queste legittime domande, occorre anzitutto esaminarli e comprenderne il meccanismo interno. Muniamoci dunque dell’armamentario e degli strumenti dell’algebrista e consideriamo un gruppo G qualsiasi, non necessariamente finito, dotato di un’operazione che non ha alcuna ragione di essere commutativa e che indicheremo in forma moltiplicativa. Che cosa vediamo subito in G? Elementi sparsi, che possiamo scegliere di raggruppare in sottoinsiemi. Un sottoinsieme H di G può a sua volta essere un gruppo, purché contenga l’elemento neutro e dell’operazione di composizione. Si dice allora che è un sottogruppo di G. Esistono relazioni particolari tra gli elementi di G, interni ed esterni a H?
Che classe! -----------------
Concentriamoci su un elemento a di G che non appartenga a H. Allora, per ogni elemento h di H, il prodotto a.h non appartiene al sottogruppo H. Infatti, ragioniamo per assurdo e supponiamo che a.h appartenga a H. Esiste allora un h’ in H tale che a.h = h’. Poiché H è a sua volta un gruppo, l’inverso h−1 di h appartiene anch’esso a H, che è inoltre chiuso rispetto all’operazione interna. Ne deduciamo che l’elemento h’.h−1 appartiene a H. Ma h’.h−1 è uguale a a.h.h−1, dunque a a, che avevamo scelto fuori da H. Contraddizione!
Questa osservazione elementare è la chiave che ci apre la strada verso un tentativo di organizzazione dei gruppi. L’insieme degli elementi di H ottenuti componendo a sinistra con a svolge un ruolo importante; lo indicheremo con aH. Così, aH = { g ∈\in G, g = a.h, h ∈\in H }. Abbiamo visto che aH ∩\cap H = ∅\varnothing: l’intersezione di H e di aH è vuota.
Per abituarci a questa notazione, osserviamo che, per ogni elemento h0 di H, si ha h0H = H, poiché H è un gruppo. In particolare, eH = H.