Comment classer les groupes, est-ce même possible, et selon quels critères ? Pour répondre à ces légitimes questions, il va déjà falloir les ausculter et en comprendre la mécanique interne. Munissons-nous donc de l’attirail et des outils de l’algébriste et considérons un groupe G quelconque, pas nécessairement fini, muni d’une loi qui n’a aucune raison d’être commutative et qui sera notée de façon multiplicative. Que voyons-nous immédiatement dans G ? Des éléments épars, que l’on peut décider de regrouper en sous-ensembles. Un sous-ensemble H de G peut lui-même être un groupe, à la condition nécessaire de contenir l’élément neutre e de la loi de composition. On dit que c’est un sous-groupe de G. Existe-t-il des relations particulières entre éléments de G, intérieurs et extérieurs à H ?
C’est la classe ! -----------------
Concentrons-nous sur un élément a de G qui n’appartienne pas à H. Alors, pour tout élément h de H, le composé a.h n’appartient pas au sous-groupe H. En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que a.h soit dans H. Il existe alors h’ dans H tel que a.h = h’. Comme H est lui-même un groupe, l’inverse h−1 de h est aussi dans H, qui est par ailleurs stable pour la loi de composition interne. On en déduit que l’élément h’.h−1 est dans H. Mais h’.h−1 est égal à a.h.h−1, donc à a, que l’on avait pris en dehors de H. Contradiction !
Cette observation élémentaire est la clé qui nous ouvre la voie vers une tentative d’organisation des groupes. L’ensemble des éléments de H composés à gauche par a joue un rôle important ; on va le noter aH. Ainsi, aH = { g ∈\in G, g = a.h, h ∈\in H }. On a vu que aH ∩\cap H = ∅\varnothing : l’intersection de H et de aH est vide.
Pour nous habituer à cette notation, remarquons que, pour tout élément h0 de H, on a h0H = H, car H est un groupe. En particulier, eH = H.