Les groupes

Il est difficile d’imaginer l’algèbre sans la théorie des groupes. Pourtant, ce n’est qu’à partir du début du XIXe siècle que la notion se développe, présente implicitement dans les travaux de Lagrange, puis introduite par Galois. D’abord limitée aux seuls groupes des permutations d’un ensemble, la notion s’est peu à peu imposée dans tous les domaines des mathématiques pour étudier non plus seulement les objets, mais aussi les relations entre eux. La définition formelle d’un groupe n’apparaît qu’à la fin du XIXe siècle. Se développent alors quantité d’outils pour utiliser, répertorier, construire les nombreux exemples de cette structure unificatrice qui déferle sur les mathématiques… et toutes les sciences. Graal ultime, le théorème de classification des groupes finis simples connaît encore des répercussions aujourd’hui.

La notion de groupe, de par sa nature structurante, est centrale en algèbre. Mais elle est aussi indispensable en géométrie, où elle permet de comprendre, de classer, de relier, d’étudier les transformations, voire de caractériser différentes géométries. Ainsi, si les symétries n’expliquent pas tout, elles sont souvent présentes, quelquefois de manière invisible. Mais le concept de groupe ne s’arrête pas là : il a investi d’autres domaines comme l’analyse infinitésimale et la physique mathématique, où les groupes de Lie ont une importance cruciale.

Si le groupe est omniprésent dans les mathématiques « pures et dures », d’autres domaines s’en sont emparés, conscients des atouts que sa présence apportait : compréhension de phénomènes complexes, techniques nouvelles, unification des idées… sans compter l’attrait qu’une structure abstraite exerce sur notre pensée. En ethnologie, Claude Lévi-Strauss a utilisé les groupes pour modéliser des relations de parenté dans certaines populations. En cryptologie, l’« arithmétique de l’horloge » est présente pour toute opération de chiffrement ou déchiffrement. L’art n’est pas en reste, que ce soit en musique, littérature ou peinture. Les Barres de bois rond d’André Cadere restent emblématiques de la représentation artistique des groupes de permutations.