Groupe quotient

Prenons les six nombres de 0 à 5 disposés sur une horloge. Regroupons ceux qui diffèrent de 3 : {0, 3}, {1, 4} et {2, 5}. Chacune de ces trois paires devient alors un seul objet.

Le groupe quotient est le groupe de ces paquets. On y additionne deux paquets en choisissant un nombre dans chacun, puis en regardant dans quel paquet tombe la somme. La condition de normalité garantit que le résultat ne dépend pas des nombres choisis.

Soit un groupe G et un sous-groupe H de G. Une classe à gauche de H est un ensemble de la forme $gH=\{gh:h\in H\}gH=\backslash \{gh:h\backslash in\; H\backslash \}$, où g est un élément de G. Les classes à gauche partitionnent G : chaque élément appartient à une seule classe.

Le sous-groupe H est distingué, ou normal, lorsque sa conjugaison par tout élément g de G le laisse inchangé : $gH{g}^{-1}=HgHg^\{-1\}=H$. Cette condition équivaut à l'égalité des classes à gauche et à droite. L'ensemble des classes, noté G/H, porte alors la loi $(gH)(kH)=(gk)H(gH)(kH)=(gk)H$. Elle est bien définie : remplacer g ou k par un autre représentant de sa classe ne change pas la classe du produit.

L'élément neutre de G/H est la classe H, et l'inverse de gH est g⁻¹H. Pour un groupe écrit additivement, on emploie les classes g + H et leur somme. Enfin, si un homomorphisme de groupes φ part de G, son noyau Ker(φ) est normal et le premier théorème d'isomorphisme donne $G\mathrm{/}\ker (\phi )\cong \mathrm{Im}(\phi )G/\backslash ker(\backslash varphi)\backslash cong\backslash operatorname\{Im\}(\backslash varphi)$.

La construction réunit quatre ingrédients. Le groupe G fournit les éléments et leur loi. Le sous-groupe normal H fixe quels éléments seront identifiés. Les classes gH sont les nouveaux éléments, et un représentant g sert à nommer chaque classe. Enfin, la loi du quotient est $(gH)(kH)=(gk)H(gH)(kH)=(gk)H$.

Le choix de H détermine donc la partition de G, tandis que sa normalité rend la loi indépendante des représentants. La notation des classes dépend du côté choisi, mais, pour un sous-groupe normal, classes à gauche et à droite coïncident. Ces données suffisent à construire G/H, à calculer ses produits et à identifier son neutre et ses inverses.

Considérons le groupe additif G = ℤ/6ℤ, formé des classes 0, 1, 2, 3, 4 et 5 modulo 6. Prenons son sous-groupe H = {0, 3}. Le groupe G est abélien, donc H est automatiquement normal.

1. Les trois classes de H dans G sont H = {0, 3}, 1 + H = {1, 4} et 2 + H = {2, 5}. Elles répartissent bien les six éléments de G.

2. Additionnons 1 + H et 2 + H. La somme des représentants 1 et 2 vaut 3, donc $(1+H)+(2+H)=3+H=H(1+H)+(2+H)=3+H=H$. Avec les autres représentants, 4 + 5 vaut 9, soit 3 modulo 6 : la même classe H est obtenue.

3. Le quotient G/H possède donc trois éléments et se comporte comme ℤ/3ℤ. Le contrôle vient de l'homomorphisme qui envoie chaque classe modulo 6 sur son reste modulo 3 : son noyau est exactement {0, 3}, et son image contient 0, 1 et 2.

En arithmétique, pour un entier n ≥ 1, quotienter le groupe additif ℤ par le sous-groupe nℤ revient à ne conserver que le reste modulo n. On choisit ce quotient lorsque deux entiers doivent être traités comme équivalents dès que leur différence est multiple de n.

Pour analyser un homomorphisme, on repère les éléments envoyés sur le neutre. Ils forment le noyau, et le quotient par ce noyau décrit exactement l'image, à isomorphisme près. Si l'objectif est seulement de décrire les éléments atteints, l'image suffit ; le quotient explique en plus quelles entrées deviennent indiscernables.

Dans l'étude d'un groupe, les quotients révèlent ses niveaux de structure. Un sous-groupe normal propre non trivial identifie certains éléments sans tous les confondre. Lorsqu'un groupe est non trivial et qu'il n'en possède aucun, il est dit simple.

Le sous-groupe H et le quotient G/H. Le premier est une partie de G fermée pour la loi et les inverses ; le second a pour éléments des classes entières. Dans l'exemple, H contient deux éléments, tandis que G/H en contient trois.

Un ensemble quotient et un groupe quotient. Une relation d'équivalence suffit pour former un ensemble de classes. Pour que ces classes héritent de la loi de G par la règle $(gH)(kH)=(gk)H(gH)(kH)=(gk)H$, H doit être un sous-groupe normal.

Le quotient et le groupe des classes modulo n. Le groupe ℤ/nℤ est un exemple particulier de quotient, construit à partir de ℤ et du sous-groupe nℤ. Tous les groupes quotients ne sont pas cycliques ni issus des entiers.

Sous-groupe non normal. Les classes existent encore comme ensembles, mais leur produit par représentants peut changer de classe lorsque les représentants changent. Il ne faut alors pas annoncer un groupe G/H avec cette loi ; on conserve l'ensemble des classes ou l'on cherche un sous-groupe normal adapté.

Deux cas extrêmes. Si H ne contient que l'élément neutre, chaque classe contient un seul élément et G/H est isomorphe à G. Si H = G, une seule classe subsiste : le quotient est le groupe trivial. Ces quotients sont bien définis, mais ils n'effectuent aucune réduction intermédiaire.

Représentant contre classe. Écrire gH ne signifie pas que g est l'unique contenu de la classe. Deux représentants g et k donnent la même classe exactement lorsque $gH=kH⟺g^{-1}k\in HgH=kH\backslash iff\; g^\{-1\}k\backslash in\; H$ ; en notation additive, leur différence doit appartenir à H. Les calculs doivent donc conclure par une classe, non par un représentant isolé.

Ordre du quotient. Pour un groupe fini, le nombre d'éléments de G/H est le nombre de classes, soit l'indice de H dans G. Il ne faut pas le confondre avec le nombre d'éléments de H : dans l'exemple, les valeurs sont respectivement 3 et 2.

Le sous-groupe distingué précise la condition qui rend la loi du quotient indépendante des représentants.

L'homomorphisme de groupes montre pourquoi un noyau produit naturellement un quotient isomorphe à l'image.

Le groupe fini simple illustre le cas où aucun sous-groupe normal propre non trivial ne fournit de quotient intermédiaire.