AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
anneau quotient
Soit A un anneau et I un idéal bilatère de A. On définit sur A la relation d'équivalence : x ~ y si et seulement si x − y ∈ I. L'ensemble des classes d'équivalence A/~ est muni d'une structure d'anneau en posant x̄ + ȳ = (x + y) + I et x̄ · ȳ = (x · y) + I, où x̄ désigne la classe d'équivalence de x. Cet anneau est appelé anneau quotient de A par I, noté A/I. La projection canonique A → A/I est un homomorphisme d'anneaux surjectif de noyau I.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les classes de A/I à partir d'un idéal bilatère.
- Additionner et multiplier des classes sans dépendre des représentants.
- Vérifier les calculs dans ℤ/5ℤ.
- Relier l'idéal I au noyau de la projection canonique.
En clair
Rangeons les entiers selon leur reste après division par 5. Les nombres 3, 8 et −2 vont dans le même paquet, car leurs différences sont des multiples de 5. Au lieu de distinguer tous les entiers, on ne garde ainsi que cinq paquets.
Un anneau quotient généralise ce geste. Il déclare négligeables les éléments d'un idéal, puis calcule avec les paquets obtenus. Additionner ou multiplier deux paquets revient à choisir des représentants, à effectuer l'opération, puis à reprendre le paquet du résultat.
Définition
Soit A un anneau et soit I un idéal bilatère de A. Deux éléments x et y de A sont déclarés équivalents lorsque leur différence appartient à I : . La classe de x, aussi notée x + I, réunit donc tous les éléments qui diffèrent de x par un élément de I. L'ensemble de ces classes est l'anneau quotient A/I.
La somme de la classe de x et de celle de y est la classe de x + y. Leur produit est la classe de xy. Ces résultats ne dépendent pas des représentants choisis : la stabilité de I par addition traite les sommes, et son caractère bilatère traite les produits, y compris lorsque A n'est pas commutatif.
L'application qui envoie chaque élément x sur sa classe est la projection canonique de A vers A/I. C'est un homomorphisme d'anneaux surjectif. Son noyau est exactement I : les éléments de I, et eux seuls, deviennent la classe nulle dans le quotient.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la construction. L'anneau A fournit les objets et les deux opérations. L'idéal bilatère I précise quelles différences seront effacées. La relation d'équivalence rassemble x avec tous les éléments de x + I. Enfin, la projection canonique associe à chaque élément sa classe.
Le choix de I détermine donc simultanément les classes et le noyau de la projection. Les opérations de A déterminent celles du quotient, mais elles ne descendent correctement aux classes que grâce aux propriétés d'idéal bilatère. Ces données suffisent à construire A/I et à y calculer sans attacher le résultat à un représentant particulier. Le schéma matérialise ce mécanisme avec la projection des entiers modulo 5.
Un exemple, pas à pas
On construit l'anneau ℤ/5ℤ. Les données sont l'anneau des entiers ℤ, l'idéal 5ℤ formé des multiples de 5, et les représentants 3 et 4. La notation désigne la classe de l'entier a modulo 5.
1. Les entiers sont répartis en cinq classes, représentées par 0, 1, 2, 3 et 4.
2. Pour la somme, on calcule 3 + 4 = 7, puis on remplace 7 par son reste 2 modulo 5.
3. Pour le produit, on calcule 3 × 4 = 12, puis on remplace 12 par son reste 2 modulo 5.
2. Pour la somme, on calcule 3 + 4 = 7, puis on remplace 7 par son reste 2 modulo 5.
3. Pour le produit, on calcule 3 × 4 = 12, puis on remplace 12 par son reste 2 modulo 5.
Les deux calculs s'écrivent : . Pour contrôler l'indépendance des représentants, remplaçons 3 par 8 et 4 par −1. La somme vaut encore 7, et le produit vaut −8, qui a le même reste 2 que 12. Enfin, la projection envoie exactement les multiples de 5 sur la classe nulle : son noyau est 5ℤ.
En pratique
Pour calculer modulo un entier n, on travaille dans ℤ/nℤ. Chaque résultat est remplacé par sa classe, souvent repérée par un reste. Si les valeurs entières exactes importent encore, on reste plutôt dans ℤ.
Pour imposer que tous les éléments d'un idéal I valent zéro, on passe de A à A/I. Le quotient est préférable à une simple restriction à une partie de A, car il conserve des classes couvrant tout A et des opérations bien définies.
Pour étudier un homomorphisme surjectif, son noyau indique exactement quelles différences la fonction ne voit plus. Le quotient par ce noyau reproduit alors la structure de l'anneau d'arrivée, à isomorphisme près. Si l'application n'est pas surjective, le quotient correspond seulement à son image.
À ne pas confondre
Anneau quotient et sous-anneau. Un sous-anneau conserve certains éléments de A comme éléments distincts. Un quotient regroupe au contraire tous les éléments de A en classes. Dans ℤ/5ℤ, 3 et 8 deviennent égaux ; dans le sous-anneau ℤ de lui-même, ils restent distincts.
Anneau quotient et groupe quotient. Les deux constructions utilisent des classes, mais l'anneau quotient doit aussi posséder un produit bien défini. Un sous-groupe normal suffit pour un groupe quotient ; pour un anneau non commutatif, il faut un idéal bilatère.
Classe et représentant. Un représentant est un élément choisi dans une classe, pas la classe entière. Dans ℤ/5ℤ, 3 est un représentant de la même classe que 8 et −2. Changer de représentant ne doit changer ni la somme ni le produit obtenus.
Limites et pièges
Un sous-ensemble quelconque ne suffit pas. Si I n'est pas stable comme idéal bilatère, le produit de deux classes peut dépendre des représentants. Il faut vérifier les propriétés d'idéal avant de définir A/I ; dans un anneau commutatif, tout idéal est automatiquement bilatère.
Deux quotients dégénérés balisent la construction. Pour I = {0}, aucune différence non nulle n'est effacée et A/{0} s'identifie à A. Pour I = A, tous les éléments appartiennent à une seule classe et A/A est l'anneau nul. Selon les conventions, l'anneau nul peut être exclu des anneaux unitaires exigeant 0 ≠ 1.
Un quotient ne choisit pas un reste canonique dans tout anneau. Les représentants 0 à 4 sont pratiques dans ℤ/5ℤ grâce à la division euclidienne. Dans un anneau général, aucune liste privilégiée de représentants n'est garantie. Il faut raisonner sur les classes ou justifier séparément un système de représentants.
Pour aller plus loin
La construction devient plus familière lorsqu'on la relie aux notions qui fournissent sa structure, ses classes et sa propriété universelle.
anneau - structure algébrique - présente les deux opérations que le quotient doit conserver.
relation d'équivalence explique le mécanisme qui transforme les éléments de A en classes.
classe d'équivalence précise ce que contient chaque élément de l'anneau quotient.
Morphisme d'anneaux permet d'interpréter la projection canonique, son noyau et la factorisation par un quotient.
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