Maximal (idéal)

Prenons dans ℤ l'ensemble 5ℤ des multiples de 5. Il est stable par addition et par passage à l'opposé. Multiplier l'un de ses éléments par n'importe quel entier donne encore un multiple de 5. C'est donc un idéal.

Si l'on agrandit 5ℤ tout en conservant les règles d'un idéal, on obtient aussitôt tous les entiers. Il n'existe pas d'étape propre entre 5ℤ et ℤ : voilà l'idée de « maximal ». En regroupant les entiers selon leur reste modulo 5, le quotient ne garde que cinq classes et permet de diviser par toute classe non nulle.

Soit A un anneau commutatif possédant un élément unité. Un idéal M de A est propre lorsqu'il est différent de A. Il est maximal lorsque tout idéal I satisfaisant M ⊆ I ⊆ A est nécessairement égal à M ou à A. Le mot « maximal » porte donc sur l'inclusion parmi les idéaux propres ; il n'affirme ni l'unicité de M ni l'existence d'un idéal propre contenant tous les autres.

L'anneau quotient A/M regroupe deux éléments de A lorsqu'ils diffèrent d'un élément de M. Le critère fondamental relie exactement les deux notions :Dans ce cadre commutatif unitaire, tout idéal maximal est premier, mais un idéal premier n'est pas toujours maximal.

Le théorème de Krull assure qu'un anneau commutatif unitaire non trivial possède au moins un idéal maximal. Dans ℤ, les idéaux maximaux sont précisément les ensembles pℤ de multiples d'un nombre premier p. Cette correspondance explique en quel sens les idéaux maximaux généralisent les nombres premiers.

On veut décider si 5ℤ est maximal dans ℤ.
Données : l'anneau est ℤ ; l'idéal étudié est 5ℤ ; les restes possibles modulo 5 sont 0, 1, 2, 3 et 4.

1. Dans le quotient ℤ/5ℤ, deux entiers appartiennent à la même classe lorsque leur différence est un multiple de 5. Les cinq classes sont donc représentées par 0, 1, 2, 3 et 4.

2. Chaque classe non nulle possède un inverse pour la multiplication : 1 × 1 donne 1, 2 × 3 donne 6, donc la classe de 1, et 4 × 4 donne 16, donc encore la classe de 1.

3. Le quotient ℤ/5ℤ est ainsi un corps. Le critère du quotient montre que 5ℤ est maximal. Le diagramme d'inclusion matérialise l'absence d'idéal propre intermédiaire entre 5ℤ et ℤ.

Contrôle. Tout idéal de ℤ contenant 5ℤ s'écrit dℤ avec d divisant 5. Les seuls diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5 : on retrouve uniquement ℤ et 5ℤ.

Pour construire un corps à partir d'un anneau, on cherche un idéal maximal M puis on forme A/M. Si le quotient conserve des éléments non nuls sans inverse, il faut choisir un autre idéal : le quotient obtenu n'est pas un corps.

Dans ℤ, l'idéal nℤ est maximal exactement lorsque l'entier positif n est premier. Pour n = 5, le quotient a cinq classes et chaque classe non nulle est inversible. Pour n = 6, les classes de 2 et de 3 ont un produit nul ; on écarte donc 6ℤ.

Pour tester la maximalité, deux voies se complètent. L'étude des idéaux contenant M convient lorsque leur inclusion est facile à décrire. Le critère du quotient est préférable lorsque les inverses dans A/M se calculent directement.

Idéal maximal et idéal premier. Dans un anneau commutatif unitaire, un idéal maximal est toujours premier. La réciproque échoue : dans ℤ, l'idéal nul est premier puisque ℤ est intègre, mais il n'est pas maximal car 0 ⊊ 2ℤ ⊊ ℤ.

Élément maximal et plus grand élément. Un idéal maximal ne peut être agrandi sans devenir l'anneau entier. Il ne contient pas nécessairement tous les autres idéaux propres : dans ℤ, 2ℤ et 3ℤ sont tous deux maximaux, et aucun ne contient l'autre.

L'idéal doit être propre. Prendre M = A rendrait impossible le quotient corps : A/A ne possède qu'un élément et son zéro coïncide avec son unité. Il faut d'abord vérifier M ≠ A.

L'anneau trivial est exclu du théorème d'existence. Lorsque 0 = 1, l'unique idéal est l'anneau entier ; aucun idéal propre, donc aucun idéal maximal, n'existe. L'hypothèse « non trivial » est indispensable.

Le cadre commutatif unitaire compte. Le critère « A/M est un corps » est formulé ici pour un anneau commutatif avec unité. Dans un cadre non commutatif ou sans unité, il faut préciser le côté des idéaux et employer la version adaptée.

Un quotient fini n'est pas automatiquement un corps. ℤ/6ℤ a six classes, mais les classes non nulles de 2 et de 3 ont un produit nul. Ce symptôme montre que 6ℤ n'est pas maximal ; il faut vérifier les inverses, pas seulement compter les classes.

L'article anneau quotient détaille la construction de A/M, l'objet qui transforme la maximalité de M en propriété de corps.