Krull (théorème de )

Prenons les entiers multiples de 2. Parmi eux, certains sont aussi multiples de 4, puis de 8, de 16, et ainsi de suite. À chaque nouvelle puissance de 2, la condition de divisibilité devient plus exigeante. Aucun entier non nul ne peut les satisfaire toutes à la fois : seul 0 demeure.

Le théorème de l'intersection de Krull étend ce phénomène aux puissances d'un idéal dans un anneau noethérien intègre. Il donne les hypothèses sous lesquelles leur partie commune se réduit à zéro.

Le théorème de l'intersection de Krull est un résultat d'algèbre commutative sur une suite décroissante d'idéaux. Soit A un anneau commutatif noethérien, c'est-à-dire un anneau dont tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments. Soit I un idéal de A. Sa n-ième puissance, notée Iⁿ, est engendrée par les produits de n éléments de I.

Dans la version classique donnée ici, A est en outre un domaine intègre et I est propre, donc distinct de A. L'intersection de toutes les puissances positives de I ne contient alors que l'élément nul : ${\bigcap }_{n\ge 1}{I}^n=\{0\}\backslash bigcap\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; I^n=\backslash \{0\backslash \}$. Autrement dit, un élément qui appartient à I, I², I³ et à chaque puissance suivante est nécessairement nul.

Pour un A-module noethérien M, on étudie de même les sous-modules IⁿM. Une forme générale du théorème montre que leur intersection est fortement contrainte. Elle est nulle notamment lorsque I est contenu dans le radical de Jacobson de A ; cette condition est automatiquement satisfaite si A est local et I est contenu dans son idéal maximal.

Soit A un anneau commutatif noethérien qui est un domaine intègre, et soit I un idéal propre de A. Si un élément x de A appartient à Iⁿ pour tout entier n supérieur ou égal à 1, alors x = 0. L'énoncé s'écrit : ${\bigcap }_{n\ge 1}{I}^n=\{0\}\backslash bigcap\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; I^n=\backslash \{0\backslash \}$.

Pour l'appliquer, il faut donc vérifier successivement que l'anneau est noethérien, qu'il n'a pas de diviseurs de zéro et que l'idéal n'est pas l'anneau entier.

La version classique s'applique à un anneau commutatif A qui remplit deux conditions vérifiables : ses idéaux sont de type fini, donc A est noethérien, et le produit de deux éléments non nuls n'est jamais nul, donc A est intègre. L'idéal I doit aussi être propre. La conclusion porte sur l'intersection de toutes ses puissances, pas seulement sur un nombre fini d'entre elles.

Le caractère intègre ne peut pas simplement être supprimé. Dans l'anneau produit A = ℤ × ℤ, l'idéal propre I = ℤ × {0} vérifie I² = I. Toutes ses puissances sont donc égales à I et leur intersection n'est pas nulle. Pour un module noethérien M, une alternative utile consiste à vérifier que I est contenu dans le radical de Jacobson, comme dans le cadre d'un anneau local avec I inclus dans l'idéal maximal.

Considérons l'anneau des entiers ℤ et l'idéal I = 2ℤ, formé des entiers pairs. Les données sont l'anneau ℤ, l'idéal propre 2ℤ et les puissances successives de cet idéal.

1. L'anneau ℤ est noethérien et intègre. L'idéal 2ℤ est propre puisque 1 n'est pas pair. Les hypothèses de la version classique sont réunies.

2. Multiplier n fois des éléments pairs donne Iⁿ = 2ⁿℤ. Les premières puissances sont donc 2ℤ, 4ℤ, 8ℤ et 16ℤ.

3. L'entier 24 appartient à 2ℤ, 4ℤ et 8ℤ, mais pas à 16ℤ. Il sort donc de la chaîne dès la quatrième puissance.

4. Plus généralement, si un entier m non nul était dans toutes les puissances, il serait divisible par 2ⁿ pour tout n. En choisissant n tel que 2ⁿ > |m|, cette divisibilité devient impossible. Seul m = 0 reste dans chaque puissance.

Le contrôle sur les entiers de −16 à 16 rend visible ce filtrage : les multiples présents se raréfient à chaque passage de 2ℤ à 4ℤ, 8ℤ puis 16ℤ, tandis que 0 demeure toujours présent.

Dans un anneau local noethérien, on rencontre souvent les puissances de l'idéal maximal. Le théorème garantit qu'un élément placé dans toutes ces puissances est nul lorsque les hypothèses requises sont réunies.

Pour construire la complétion I-adique d'un anneau, on compare les éléments modulo I, puis modulo I², I³, et ainsi de suite. Une intersection nulle signifie que ces approximations de plus en plus fines distinguent finalement deux éléments différents.

Dans une démonstration, le résultat fournit aussi un test d'annulation : si l'on établit qu'un même élément appartient à chaque Iⁿ, il est nul. Si l'anneau n'est pas noethérien ou pas intègre, il faut calculer l'intersection directement ou employer une version adaptée au module et au radical de Jacobson.

Avec le théorème de l'idéal maximal de Krull. Celui-ci affirme que tout idéal propre d'un anneau unitaire est contenu dans un idéal maximal et sa preuve usuelle emploie le lemme de Zorn. Le critère qui tranche est l'objet de la conclusion : existence d'un idéal maximal d'un côté, intersection de puissances égale à zéro de l'autre.

Avec le théorème de l'idéal principal de Krull. Ce résultat borne la hauteur des idéaux premiers minimaux au-dessus d'un idéal engendré par un élément. Si la question porte sur une dimension ou une hauteur, ce n'est pas le théorème d'intersection étudié ici.

Idéal non propre. Si I = A, alors Iⁿ = A pour tout n. L'intersection vaut A et non {0}. Il faut vérifier que 1 n'appartient pas à I avant d'appliquer la version classique.

Diviseurs de zéro. Un idéal peut se stabiliser au lieu de rétrécir. Dans ℤ × ℤ, l'idéal ℤ × {0} est idempotent : son carré est lui-même. Ce symptôme interdit de conclure à une intersection nulle par la version classique.

Module sans condition supplémentaire. Pour les sous-modules IⁿM, le seul caractère noethérien ne suffit pas à annoncer automatiquement une intersection nulle. Il faut contrôler le cadre précis, notamment l'inclusion de I dans le radical de Jacobson lorsque l'on utilise cette forme.

Confusion entre limite et intersection. Dans la topologie I-adique, les sous-modules IⁿM forment par définition une base de voisinages de zéro. L'égalité de leur intersection à {0} signifie que cette topologie est séparée ; elle ne décrit ni une distance numérique ni un rang à partir duquel tous les sous-modules deviennent nuls.

anneau noethérien — Approfondir la condition de finitude qui empêche les idéaux et sous-modules de développer une complexité incontrôlée.

Le prolongement naturel est la complétion I-adique : elle rassemble les informations obtenues modulo Iⁿ pour toutes les valeurs de n. L'intersection nulle assure alors que l'application canonique de l'anneau vers sa complétion ne confond pas deux éléments.