Évitement des idéaux premiers (lemme d')

Imaginez un ensemble de nombres fabriqués en prenant tous les multiples de 6. Dans les entiers, chacun de ces nombres est aussi un multiple de 2 et un multiple de 3. Le lemme d'évitement dit qu'une collection d'éléments organisée en idéal ne peut pas être dispersée dans une réunion finie d'idéaux premiers sans être entièrement déjà contenue dans l'un d'eux.

Autrement dit, une réunion finie de ces ensembles particuliers ne crée pas une nouvelle manière de contenir un idéal. Le résultat aide à repérer quel idéal premier porte réellement la contrainte.

Dans un anneau commutatif R, un idéal I est un sous-ensemble non vide stable par addition et par multiplication par tout élément de R. Un idéal premier est un idéal propre p tel que, si un produit ab appartient à p, alors a appartient à p ou b appartient à p.

Le lemme d'évitement des idéaux premiers affirme que, pour des idéaux premiers p₁, …, pₙ en nombre fini, l'inclusion de I dans leur réunion entraîne l'inclusion de I dans l'un d'eux :

La finitude de la famille est essentielle dans cet énoncé. Le lemme concerne une réunion ensembliste, et non l'intersection des idéaux ; il fournit donc une conclusion d'inclusion dans un membre précis de la famille.

Soient R un anneau commutatif, I un idéal de R et p₁, …, pₙ une famille finie d'idéaux premiers de R. Si chaque élément de I appartient à au moins un des pᵢ, alors il existe un indice i tel que chaque élément de I appartient à pᵢ.

La lecture pratique est donc la suivante : une fois l'inclusion dans la réunion établie, on cherche le membre qui contient I en entier, plutôt qu'un membre différent pour chaque élément.

Le cadre est un anneau commutatif R, avec un idéal I et une famille finie d'idéaux premiers p₁, …, pₙ. La donnée à vérifier est l'inclusion de tout I dans la réunion des pᵢ ; la conclusion est une inclusion de I dans un seul pᵢ.

La famille doit être finie et les membres doivent être premiers. Si I n'est pas contenu dans la réunion, le lemme ne s'applique pas. Par exemple, dans ℤ, l'idéal (1) n'est pas contenu dans (2) ∪ (3), puisque 1 n'appartient ni à (2) ni à (3) ; il faut alors examiner le problème autrement.

Dans l'anneau des entiers ℤ, considérons l'idéal I = (6) et les idéaux p₁ = (2) et p₂ = (3). L'idéal I rassemble tous les multiples de 6 ; p₁ rassemble les multiples de 2 ; p₂ rassemble les multiples de 3. Pour contrôler l'hypothèse de primalité, on remarque que les quotients ℤ/(2) et ℤ/(3) sont des corps : (2) et (3) sont donc bien des idéaux premiers.

Pour un élément quelconque x de I, il existe un entier k tel que x = 6k.
Comme x = 2(3k), x appartient à p₁.
Comme x = 3(2k), x appartient aussi à p₂.
Ainsi I est contenu dans p₁ ∪ p₂, et même I est contenu dans chacun des deux idéaux.
Le contrôle est immédiat sur 6, 12 et 18 : chacun est multiple de 2 et de 3.

Le résultat demandé par le lemme est donc vérifié : I est contenu dans un membre de la famille, par exemple p₁. L'égalité x = 6k refait le contrôle pour tout élément, et non pour quelques multiples seulement.

En algèbre commutative, le lemme permet de remplacer une inclusion dans une réunion finie par une inclusion dans l'un des idéaux premiers de la famille. Le geste consiste à repérer ce membre avant de poursuivre une preuve.

Pour la localisation, on travaille souvent avec les éléments qui ne sont pas dans un idéal premier. Le lemme d'évitement aide à choisir un élément qui évite simultanément une famille finie d'obstacles premiers, lorsque les hypothèses de la situation le permettent.

Dans une preuve sur un anneau noethérien, le résultat sert à transformer une information globale sur une famille finie d'idéaux en une information portée par l'un d'eux. Si la famille n'est pas finie, il faut employer un résultat adapté au contexte au lieu d'appliquer ce lemme automatiquement.

Le lemme d'évitement porte sur une réunion finie, notée par « ∪ », tandis que l'intersection « ∩ » demande qu'un élément appartienne à tous les idéaux concernés. Dans ℤ, 6 appartient à (2) ∩ (3), alors 5 appartient à (2) ∪ (3) seulement s'il appartient à l'un des deux ; ici 5 n'appartient à aucun. Le symbole utilisé permet donc de distinguer les deux situations.

Un idéal premier ne se confond pas non plus avec un idéal quelconque : la propriété sur les produits est indispensable dans le lemme. Pour séparer les notions, on vérifie d'abord que l'idéal est propre et premier, au lieu de déduire la conclusion à partir de la seule stabilité par addition.

Le seuil décisif est la finitude : une famille de n idéaux premiers avec n entier naturel non nul relève de l'énoncé, tandis qu'une famille infinie n'est pas couverte par cette formulation. Le symptôme d'une mauvaise application est une conclusion obtenue après avoir simplement remplacé n par « infini ». Il faut alors vérifier un théorème d'évitement plus général adapté au cadre.

L'inclusion dans la réunion ne signifie pas qu'un même idéal premier a été choisi à l'avance pour chaque élément. Le lemme garantit précisément qu'un seul pᵢ contient I tout entier ; sans l'hypothèse d'idéaux premiers, cette conclusion peut échouer.

Un prolongement naturel consiste à étudier les versions du principe d'évitement pour des familles d'idéaux qui ne sont pas toutes premières. Elles imposent des hypothèses supplémentaires ou une conclusion différente ; le bon réflexe est donc de comparer précisément les hypothèses avant de transférer le lemme à un autre cadre.

La théorie des idéaux dans les anneaux noethériens fournit ensuite un terrain d'application : la finitude des données permet d'organiser les idéaux premiers intervenant dans une preuve, puis de sélectionner celui qui contient effectivement l'idéal étudié.