Artinien (anneau)

Prenons les restes modulo 8. On peut y regarder tous les nombres, puis seulement les pairs, puis les multiples de 4, puis seulement 0. Chaque sélection est un idéal contenu dans la précédente. Cette descente finit forcément par ne plus changer. Un anneau est artinien lorsque le même phénomène se produit pour toute chaîne descendante de ses idéaux : après un nombre fini d'étapes, on ne trouve plus d'idéal strictement plus petit dans la chaîne.

Soit un anneau A. Une chaîne descendante d'idéaux à gauche est une suite dans laquelle chaque idéal est contenu dans le précédent. L'anneau A est artinien à gauche si, pour toute chaîne de ce type, il existe un rang à partir duquel tous les idéaux sont égaux. Autrement dit, une descente peut comporter plusieurs inclusions strictes, mais pas une infinité.

Le côté fait partie de la définition dans un anneau non commutatif : on distingue les propriétés artinienne à gauche et artinienne à droite. Dans un anneau commutatif, les idéaux à gauche et à droite sont simplement les idéaux, donc cette distinction disparaît. La condition est dite de chaîne descendante. Sa duale formelle, la condition de chaîne ascendante, définit les anneaux noethériens.

Le théorème de Hopkins-Levitzki affirme, avec les conventions usuelles sur les anneaux, qu'un anneau artinien d'un côté est noethérien du même côté. La réciproque est fausse. Le théorème d'Artin-Wedderburn décrit les anneaux semisimples artiniens comme des produits finis d'anneaux de matrices sur des corps gauches ; dans le cadre commutatif, les facteurs sont des corps.

Quatre éléments structurent la notion. L'anneau fournit l'addition et la multiplication. Ses idéaux à gauche sont les sous-ensembles stables par addition et par multiplication à gauche par tout élément de l'anneau. L'inclusion ordonne ces idéaux du plus grand au plus petit. Enfin, la stationnarité exige que les termes d'une chaîne deviennent tous égaux après un certain rang.

La multiplication détermine donc quels sous-ensembles sont des idéaux, puis l'inclusion détermine quelles suites sont descendantes. La propriété artinienne porte sur cet ordre, et non sur le nombre d'éléments de l'anneau. Un anneau fini est automatiquement artinien, mais la définition s'applique aussi à des anneaux infinis.

Considérons l'anneau A des entiers modulo 8. Ses éléments sont les huit restes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Ses idéaux sont A, l'idéal 2A des restes pairs, l'idéal 4A formé de 0 et 4, et l'idéal nul.

1. Partons de l'idéal A tout entier.

2. Descendons vers 2A = {0, 2, 4, 6}, puis vers 4A = {0, 4}. Chaque inclusion est stricte.

3. Descendons enfin vers l'idéal nul {0}. La chaîne complète est :

4. Toute chaîne descendante d'idéaux de A ne peut utiliser que ces quatre idéaux. Elle finit donc par répéter indéfiniment son dernier terme : A est artinien. Le contrôle consiste à vérifier la liste des diviseurs de 8, qui donne exactement les quatre idéaux annoncés.

Pour montrer qu'un anneau fini est artinien, il suffit d'observer qu'il ne possède qu'un nombre fini de sous-ensembles, donc seulement un nombre fini d'idéaux. Une chaîne descendante ne peut pas présenter indéfiniment de nouvelles inclusions strictes.

Pour un anneau commutatif donné par un quotient simple, on peut lister ses idéaux et les ordonner par inclusion, comme pour les entiers modulo 8. Cette méthode est préférable quand la liste est courte et explicite.

Pour un anneau non commutatif, il faut d'abord préciser le côté étudié. Une preuve concernant les idéaux à gauche ne permet pas, à elle seule, de conclure pour les idéaux à droite.

Anneau noethérien. Sa condition porte sur les chaînes ascendantes d'idéaux, et non sur les chaînes descendantes. Tout anneau artinien est noethérien, mais un anneau noethérien peut ne pas être artinien.

Anneau fini. « Fini » compte les éléments de l'anneau ; « artinien » contrôle ses chaînes d'idéaux. Tout anneau fini est artinien, tandis que certains anneaux artiniens ont une infinité d'éléments, notamment tout corps infini.

Anneau semisimple. La semi-simplicité décrit la décomposition des modules, alors que la propriété artinienne est une condition de chaîne. Le théorème d'Artin-Wedderburn relie les deux notions sous des hypothèses précises ; elles ne sont pas des synonymes.

Le côté ne doit pas disparaître. Dans un anneau non commutatif, « artinien » sans précision peut masquer une convention. Il faut indiquer « à gauche » ou « à droite », ou annoncer explicitement que les deux côtés sont supposés.

Une longue descente ne suffit pas à réfuter la propriété. Une chaîne peut comporter autant d'inclusions strictes qu'on veut fixer à l'avance. Pour prouver qu'un anneau n'est pas artinien, il faut construire une seule chaîne qui ne devient jamais stationnaire.

Le corps de base dépend du cadre. Dans la forme générale d'Artin-Wedderburn, les blocs matriciels sont définis sur des corps gauches. Parler seulement de corps commutatifs exige de se placer dans une situation où cette restriction est justifiée.

La condition de chaîne ascendante forme le prolongement naturel de cette étude. La fiche anneau noethérien permet de comparer précisément les deux sens d'inclusion.

On peut ensuite étudier le théorème de Hopkins-Levitzki, qui fait passer de la condition descendante à la condition ascendante du même côté, puis la classification d'Artin-Wedderburn dans le cas semisimple.