Semi-simple (module)

Imaginez un objet algébrique que l'on peut démonter en briques sans structure interne plus petite. Chacune de ces briques est un module simple. Le module entier est semi-simple lorsque ces briques se juxtaposent sans se chevaucher : chaque élément s'écrit d'une seule façon comme somme d'éléments pris dans les différentes briques.

Dans le module des restes modulo 6, les deux briques {0, 3} et {0, 2, 4} suffisent. Leur seul élément commun est 0, et leurs sommes produisent les six restes.

On fixe un anneau avec unité et un côté d'action, puis un module M sur cet anneau. Un sous-module est simple lorsqu'il est non nul et que ses seuls sous-modules sont 0 et lui-même. Le module M est semi-simple lorsqu'il est somme directe d'une famille de sous-modules simples. La famille peut être infinie ; chaque élément de M ne fait toutefois intervenir qu'un nombre fini de composantes.

Si les sous-modules simples sont notés S_i, avec i parcourant un ensemble d'indices I, la définition s'écrit : Le symbole de somme directe impose deux faits : les S_i engendrent M, et la décomposition de chaque élément en composantes est unique.

Un critère équivalent est que tout sous-module N de M possède un supplémentaire : il existe un sous-module P tel que M soit la somme directe de N et P. Ainsi, aucune extension non scindée ne maintient deux couches simples attachées. Un anneau est dit semi-simple, pour le côté choisi, lorsque son module régulier est semi-simple ; dans le cadre usuel des anneaux avec unité, cela revient à ce que tous ses modules de ce côté soient semi-simples.

Considérons le module M des restes modulo 6, avec l'addition modulo 6 et l'action des entiers. Ses éléments sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Posons A = {0, 3} et B = {0, 2, 4}.

1. Les ensembles A et B sont stables par addition et par multiplication par un entier : ce sont des sous-modules de M.

2. Le module A a deux éléments et B en a trois. Tout sous-module non nul de A contient 3, et tout sous-module non nul de B contient 2 ou 4 ; dans chaque cas, il contient alors toute la brique. A et B sont donc simples.

3. Leur intersection vaut {0}. Leurs six sommes sont toutes distinctes : 0, 2 et 4 depuis 0 + B, puis 3, 5 et 1 depuis 3 + B. Elles donnent tous les éléments de M.

4. On obtient donc $\mathbb{Z}\mathrm{/}6\mathbb{Z}=A\oplus B\backslash mathbb\{Z\}/6\backslash mathbb\{Z\}=A\backslash oplus\; B$. Le tableau visuel rend lisibles les six décompositions uniques. Le contrôle consiste à vérifier 2 × 3 = 6, l'intersection réduite à 0 et la présence de chaque reste une seule fois.

Pour analyser un module concret, on cherche des sous-modules simples dont les intersections sont nulles et dont la somme couvre tout le module. Dans l'exemple modulo 6, A et B donnent directement cette décomposition.

Une autre démarche part d'un sous-module N. S'il possède toujours un supplémentaire P tel que chaque élément s'écrive de façon unique comme n + p, le critère des supplémentaires établit la semi-simplicité. Si un seul N reste sans supplémentaire, ce critère échoue.

En théorie des représentations d'un groupe fini, une représentation est étudiée comme un module. Lorsqu'elle est semi-simple, on remplace l'action globale par l'étude de ses composantes simples ; sinon, il faut aussi conserver l'information qui attache les couches entre elles.

Module simple. Un module simple est non nul et n'a aucun sous-module propre non nul. Un module semi-simple peut au contraire avoir de nombreux sous-modules : le module des restes modulo 6 est semi-simple, mais A = {0, 3} y est un sous-module propre non nul.

Module indécomposable. Un module indécomposable ne se partage pas en somme directe de deux sous-modules non nuls. Un module simple est indécomposable, mais la réciproque peut échouer : l'absence de décomposition ne garantit pas l'absence de sous-module propre non nul.

Une somme ne suffit pas. Écrire M comme somme de sous-modules simples ne prouve rien si la somme n'est pas directe. Il faut vérifier que chaque élément possède une décomposition unique, ou employer un critère équivalent.

La décomposition n'est pas nécessairement finie. Un module semi-simple peut être une somme directe infinie. Ce qui reste fini, pour chaque élément, est le nombre de composantes non nulles qui interviennent dans son écriture.

Le côté de l'action et l'unité comptent. Les énoncés sur les anneaux semi-simples se formulent pour des modules à gauche ou à droite et, dans la présentation usuelle de Wedderburn-Artin, pour des anneaux avec unité. Cette classification situe le passage du critère sur les modules à la structure de l'anneau : elle décrit les anneaux semi-simples artiniens comme des produits finis d'anneaux de matrices sur des corps de division. Il faut annoncer ces conventions avant de l'appliquer.

Les représentations de groupes finis ne sont pas toujours semi-simples. Sur un corps, la décomposition de toute représentation d'un groupe fini exige notamment que la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe. Lorsque cette condition échoue, il faut rechercher des extensions non scindées plutôt que supposer une somme directe.

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