Semi-simple (algèbre)

Imaginez une boîte composée d'un nombre fini de compartiments indépendants. Dans chacun, les éléments s'additionnent et se multiplient, mais aucun mélange ne passe d'un compartiment à l'autre. Une algèbre semi-simple se comporte ainsi : elle se décompose en facteurs simples.

Un facteur simple ne possède aucun idéal bilatère intermédiaire qui permettrait de l'isoler encore par les opérations de l'algèbre. « Semi-simple » ne signifie donc pas « presque simple » : plusieurs pièces simples peuvent coexister.

Une algèbre de dimension finie sur un corps est semi-simple lorsqu'elle est isomorphe, comme algèbre, à un produit fini d'algèbres simples. Une algèbre simple n'a pas d'idéal bilatère autre que l'idéal nul et l'algèbre entière. Le mot « bilatère » impose la stabilité par multiplication aussi bien à gauche qu'à droite.

Soit A une algèbre semi-simple de dimension finie sur un corps K. Le théorème de Wedderburn-Artin donne des entiers positifs n₁, …, n_r et des corps de division D₁, …, D_r tels que :Chaque facteur M_nᵢ(D_i) est une algèbre de matrices carrées. Un corps de division autorise la division par tout élément non nul, sans exiger que sa multiplication soit commutative.

Pour un groupe fini G, l'algèbre de groupe K[G] rassemble les combinaisons linéaires des éléments de G à coefficients dans K. Le théorème de Maschke affirme qu'elle est semi-simple lorsque la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas l'ordre de G. Cette décomposition explique le rôle central de ces algèbres dans l'étude des représentations.

On considère le groupe C₂ = {e, g}, où e est neutre et g² = e. Tout élément de l'algèbre réelle ℝ[C₂] s'écrit ae + bg.

1. Définir les deux composantes. On associe à ae + bg la paire formée par a + b et a − b :

2. Contrôler la multiplication. Le produit de ae + bg et ce + dg vaut (ac + bd)e + (ad + bc)g. Son image, ((a + b)(c + d), (a − b)(c − d)), est le produit composante par composante des images.

3. Retrouver l'élément de départ. Une paire réelle (x, y) possède l'antécédent suivant :La division par 2 est possible dans ℝ ; l'application est donc un isomorphisme.

4. Conclure. On obtient ℝ[C₂] ≅ ℝ × ℝ. Chaque facteur ℝ est une algèbre simple, donc l'algèbre de groupe est semi-simple.

5. Vérifier sur deux éléments. Les éléments e + g et e − g ont pour images (2, 0) et (0, 2). Leur produit nul montre que semi-simple ne signifie pas sans diviseurs de zéro.

En théorie des représentations d'un groupe fini, le théorème de Maschke indique quand l'algèbre de groupe se décompose en pièces simples. Si la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe, cette structure est disponible ; dans le cas contraire, il faut examiner les phénomènes non semi-simples.

Pour décrire une algèbre de dimension finie déjà reconnue semi-simple, Wedderburn-Artin remplace l'objet global par des algèbres de matrices sur des corps de division. Les calculs peuvent alors être menés facteur par facteur.

Pour tester une décomposition proposée, on vérifie que l'application respecte l'addition, la multiplication et qu'elle possède une réciproque. L'exemple de ℝ[C₂] montre ces trois contrôles sans supposer la conclusion.

Algèbre simple. Une algèbre simple n'a aucun idéal bilatère propre non nul. Une algèbre semi-simple peut avoir plusieurs facteurs et donc de tels idéaux : ℝ × ℝ est semi-simple, mais ℝ × {0} montre qu'elle n'est pas simple.

Groupe simple. La simplicité d'un groupe concerne ses sous-groupes normaux, tandis que celle d'une algèbre concerne ses idéaux bilatères. Le groupe C₂ est simple, mais son algèbre réelle ℝ[C₂] ≅ ℝ × ℝ n'est pas une algèbre simple.

La caractéristique peut bloquer Maschke. Pour C₂ sur un corps de caractéristique 2, la formule de l'inverse exigerait de diviser par 2. L'idéal engendré par g − e est non nul et son carré est nul ; il empêche alors la semi-simplicité.

La dimension finie est une hypothèse. La forme en produit d'algèbres de matrices donnée ici par Wedderburn-Artin s'applique aux algèbres semi-simples de dimension finie sur un corps. Il ne faut pas supprimer cette hypothèse dans l'énoncé utilisé.

Les corps de division ne sont pas forcément commutatifs. Remplacer automatiquement chaque D_i par le corps de base K rendrait la décomposition trop restrictive. Il faut conserver le corps de division fourni par chaque facteur.

Des diviseurs de zéro peuvent subsister. Dans un produit de plusieurs facteurs, (1, 0)(0, 1) = (0, 0). La semi-simplicité décrit une décomposition en facteurs simples ; elle n'affirme pas que tout produit de deux éléments non nuls reste non nul.

Le prolongement naturel consiste à étudier comment chaque facteur matriciel de Wedderburn-Artin correspond aux représentations irréductibles, puis à observer ce qui change lorsque la caractéristique du corps divise l'ordre du groupe. Cette frontière relie directement la structure de l'algèbre au théorème de Maschke.