Semi-simple (endomorphisme)

Imaginez une transformation qui étire chaque direction privilégiée par son propre coefficient. Dans une base adaptée, sa matrice ne conserve alors que des nombres sur la diagonale : aucun effet de glissement ne se mêle aux étirements. Une transformation semi-simple possède ce comportement après un éventuel agrandissement du corps de nombres.

Le test décisif porte sur son polynôme minimal : ses facteurs irréductibles ne doivent pas se répéter. Une valeur propre peut pourtant apparaître plusieurs fois, pourvu que la transformation reste diagonale sur l’espace propre correspondant.

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, et soit u un endomorphisme de cet espace. L’endomorphisme u est semi-simple lorsque son polynôme minimal est un produit de facteurs irréductibles distincts. Autrement dit, aucun facteur irréductible n’y apparaît au carré. Sur un corps parfait, notamment sur ℝ, ℂ ou tout corps de caractéristique zéro, cela équivaut à dire que u devient diagonalisable sur une clôture algébrique de K.

Si le polynôme caractéristique se scinde déjà sur K, la condition revient à la diagonalisabilité sur K. La multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique n’est pas l’obstacle : c’est la répétition du facteur correspondant dans le polynôme minimal qui révèle un bloc de Jordan non trivial. Ainsi, l’identité est semi-simple malgré son unique valeur propre répétée.

Lorsque les hypothèses de Jordan-Chevalley sont satisfaites, en particulier sur un corps parfait, u s’écrit de façon unique comme la somme d’une partie semi-simple s et d’une partie nilpotente n qui commutent. Cette relation s’écrit $u=s+n,sn=nsu=s+n,\backslash quad\; sn=ns$. La partie nilpotente mesure précisément ce qui empêche u d’être semi-simple.

Considérons l’endomorphisme u de ℝ³ défini, dans la base canonique, par la matrice A. Les données sont les valeurs diagonales 2, 2 et 3, ainsi qu’un coefficient 1 au-dessus du premier 2. La matrice est :

1. Sur le plan engendré par les deux premiers vecteurs de la base, A − 2I est non nulle mais son carré s’annule : le facteur (X − 2)² est donc nécessaire. Sur la droite engendrée par le troisième vecteur, A agit par multiplication par 3, ce qui impose le facteur X − 3. Son polynôme minimal est ainsi $(X-2{)}^2(X-3)(X-2)^2(X-3)$. Le facteur X − 2 est répété : u n’est donc pas semi-simple.

2. Séparons A en une matrice diagonale S et une matrice N portant seulement le coefficient hors diagonale : $A=S+NA=S+N$. La matrice S a pour diagonale 2, 2, 3 ; la matrice N n’a qu’un coefficient non nul, égal à 1 en première ligne et deuxième colonne.

3. La matrice S est diagonale, donc semi-simple. Un calcul donne $N^2=0N^2=0$, donc N est nilpotente. Enfin, S multiplie les deux premières coordonnées par le même nombre 2 : on obtient exactement $SN=NS=2NSN=NS=2N$. Ces trois contrôles prouvent que A = S + N est sa décomposition de Jordan-Chevalley.

Pour décider si une matrice est semi-simple, on calcule son polynôme minimal et l’on cherche un facteur répété. Lorsque le polynôme caractéristique se scinde, comparer les dimensions des espaces propres aux multiplicités algébriques fournit une autre voie vers la diagonalisabilité.

Pour calculer de grandes puissances, une matrice semi-simple se traite dans une base de vecteurs propres. Si un facteur répété apparaît dans le polynôme minimal, la décomposition de Jordan-Chevalley isole plutôt la correction nilpotente, dont les puissances finissent par s’annuler.

Dans l’étude d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants, la partie semi-simple gouverne les comportements exponentiels associés aux valeurs propres. La partie nilpotente ajoute des facteurs polynomiaux ; sa présence se reconnaît à des blocs de Jordan non triviaux.

Endomorphisme nilpotent. Un endomorphisme nilpotent possède une puissance nulle ; 0 est sa seule valeur propre possible et, si l’espace n’est pas nul, c’est effectivement une valeur propre. Un endomorphisme à la fois nilpotent et semi-simple est nécessairement nul. Dans l’exemple, N est nilpotente mais non semi-simple, tandis que S est semi-simple mais non nilpotente.

Diagonalisable sur le corps de base. Cette propriété exige une base de vecteurs propres dont les coordonnées restent dans K. Un endomorphisme semi-simple sur ℝ peut ne pas être diagonalisable sur ℝ : une rotation plane d’un quart de tour a des valeurs propres complexes et devient diagonalisable sur ℂ.

Valeurs propres distinctes. Leur distinction suffit à assurer la diagonalisabilité, mais elle n’est pas nécessaire. Sur un espace de dimension au moins 2, l’identité n’a qu’une valeur propre, répétée dans le polynôme caractéristique, et reste semi-simple car son polynôme minimal vaut X − 1.

Polynôme caractéristique ou minimal. Un carré dans le polynôme caractéristique ne conclut rien à lui seul. Il faut calculer le polynôme minimal : dans l’exemple, le carré de X − 2 y signale effectivement le bloc non diagonal de taille 2.

Corps non parfait. La factorisation sans facteur irréductible répété sur K et la diagonalisabilité sur une clôture algébrique ne coïncident pas toujours. Il faut alors vérifier la séparabilité des facteurs du polynôme minimal, ou préciser que l’on parle de semi-simplicité absolue.

Décomposition de Jordan-Chevalley. Son existence dans le corps de base demande des hypothèses, satisfaites notamment lorsque K est parfait. Sans elles, il faut éventuellement étendre le corps ou distinguer les versions additive et absolue au lieu d’affirmer une décomposition universelle.

Le Polynôme minimal donne le critère calculable de semi-simplicité et montre pourquoi un facteur répété révèle une partie non diagonalisable.

L’endomorphisme nilpotent éclaire l’autre terme de la décomposition de Jordan-Chevalley et explique pourquoi ses puissances finissent par s’annuler.