AnalyseObjet mathématique · Glossaire
matrice de Jordan
Une matrice de Jordan est une matrice carrée qui se présente sous forme de blocs diagonaux, chaque bloc étant un bloc de Jordan associé à une valeur propre λ de l'endomorphisme considéré. Un bloc de Jordan de taille k associé à λ est la matrice carrée d'ordre k dont la diagonale principale est entièrement égale à λ, la sur-diagonale (diagonale immédiatement supérieure) est entièrement égale à 1, et tous les autres coefficients sont nuls. La réduction de Jordan d'un endomorphisme φ consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de φ prend cette forme canonique par blocs. Cette réduction est particulièrement utile pour l'étude des endomorphismes nilpotents, qui ne sont pas diagonalisables en général, ainsi que pour le calcul de puissances et d'exponentielles de matrices.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la diagonale, la sur-diagonale et la partie nilpotente d’un bloc de Jordan.
- Vérifier sur J₃(2) comment la décomposition 2I₃ + N simplifie le calcul du carré.
- Distinguer forme de Jordan, matrice diagonale, matrice diagonalisable et matrice nilpotente.
- Identifier les conditions d’existence et les ambiguïtés de convention ou d’ordre des blocs.
En clair
Imaginez une grande matrice carrée découpée en petits carrés le long de sa diagonale. Dans chaque carré, un même nombre occupe la diagonale, des 1 se placent juste au-dessus et tout le reste vaut 0. Ces carrés sont les blocs de Jordan.
Ce rangement révèle deux informations à la fois : les nombres de la diagonale sont les valeurs propres, tandis que la longueur des chaînes de 1 mesure ce qui empêche parfois la matrice d’être diagonale. Changer de base peut ainsi rendre visible une structure cachée sans changer l’endomorphisme étudié.
Définition
Soit λ une valeur propre et soit k un entier strictement positif. Le bloc de Jordan de taille k associé à λ, noté , est la matrice carrée dont la diagonale vaut λ, la sur-diagonale vaut 1 et tous les autres coefficients valent 0. Il s’écrit comme la somme de λ fois la matrice identité et d’une matrice nilpotente : . La matrice Nk porte les 1 de la sur-diagonale et vérifie Nkk = 0.
Une matrice de Jordan est une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc a cette forme. Une réduction de Jordan d’un endomorphisme consiste à choisir une base dans laquelle sa matrice est une telle matrice. Cette forme existe lorsque le polynôme caractéristique se décompose entièrement sur le corps considéré, notamment pour toute matrice complexe. L’ordre des blocs peut changer, mais leurs tailles et les valeurs propres associées sont déterminées à permutation près.
Un bloc de taille 1 est simplement la matrice (λ). La matrice est diagonalisable exactement lorsque tous ses blocs de Jordan ont taille 1. Pour un endomorphisme nilpotent, la seule valeur propre est 0 : sa forme de Jordan est donc faite de blocs .
De quoi c'est fait
Un bloc de Jordan réunit quatre éléments. Sa taille k fixe le nombre de lignes et de colonnes. La valeur propre λ remplit la diagonale principale. La sur-diagonale contient des 1 qui relient les vecteurs d’une même chaîne de Jordan. Enfin, tous les autres coefficients sont nuls. Une représentation du bloc J3(2) permet de repérer ces rôles dans un même objet.
La taille du bloc détermine la longueur de la chaîne et l’indice auquel sa partie nilpotente finit par s’annuler. Les blocs associés à une même valeur propre occupent ensemble son sous-espace caractéristique. Ces données suffisent à reconstruire la matrice de Jordan, puis à calculer ses puissances ou son exponentielle bloc par bloc. L’ordre d’affichage des blocs, lui, ne définit pas la forme canonique.
Un exemple, pas à pas
On considère la matrice A présentée dans ce bloc. Les données sont sa taille 3, sa valeur diagonale 2 et ses deux coefficients 1 sur la sur-diagonale. On veut reconnaître sa forme et calculer son carré.
1. La diagonale ne contient que 2, la sur-diagonale contient 1 et les autres coefficients sont nuls. Ainsi, A est le bloc J3(2).
2. On sépare la partie scalaire et la partie nilpotente en posant N = A − 2I3. La matrice N a les mêmes 1 que A, mais une diagonale nulle. Elle vérifie N2 ≠ 0 et N3 = 0.
3. Comme A = 2I3 + N, on développe A2 = 4I3 + 4N + N2.
4. Un contrôle direct confirme le résultat : le coefficient supérieur droit vaut 2 × 0 + 1 × 1 + 0 × 2 = 1. La diagonale de A2 vaut bien 22 = 4.
En pratique
Pour calculer une grande puissance, on travaille bloc par bloc. Avec A = 2I3 + N et N3 = 0, le développement binomial s’arrête après N2. Une diagonalisation serait plus courte, mais elle est impossible ici puisque le bloc a taille 3.
Pour calculer une exponentielle de matrice, la même séparation donne eA = e2(I3 + N + N2/2). La somme est finie parce que N est nilpotente. Une méthode numérique reste préférable pour une grande matrice lorsque construire la base de Jordan devient instable ou coûteux.
Pour étudier un endomorphisme nilpotent, les tailles des blocs donnent directement les longueurs de ses chaînes. On les retrouve à partir des dimensions successives des noyaux de N, N2, N3, plutôt qu’en cherchant seulement des valeurs propres, toutes égales à 0.
À ne pas confondre
Matrice diagonale. Elle ne possède aucun 1 hors de la diagonale. Le bloc J3(2) n’est donc pas diagonal, même si tous ses coefficients diagonaux valent 2.
Matrice diagonalisable. Elle est semblable à une matrice diagonale, ce qui impose des blocs de Jordan de taille 1. La présence d’un bloc de taille 2 ou plus, comme J3(2), tranche immédiatement : la matrice ne l’est pas.
Matrice nilpotente. Une de ses puissances est nulle et sa seule valeur propre est 0. La partie N = J3(2) − 2I3 est nilpotente, mais J3(2) ne l’est pas puisque sa valeur propre vaut 2.
Limites et pièges
Le corps ne contient pas toutes les valeurs propres. Si le polynôme caractéristique ne s’y décompose pas, une forme de Jordan peut ne pas exister sur ce corps. Il faut alors étendre le corps ou employer une autre forme canonique adaptée.
Les valeurs propres ne suffisent pas. Les matrices diag(2, 2, 2) et J3(2) ont la même valeur propre avec la même multiplicité, mais des tailles de blocs différentes. Il faut aussi déterminer les dimensions des noyaux des puissances de A − 2I3.
L’unicité autorise une permutation. Deux écritures qui placent les mêmes blocs dans un ordre différent représentent la même forme canonique. Il faut comparer les couples formés par chaque valeur propre et chaque taille de bloc, pas leur position sur la page.
Une convention peut être transposée. Certains ouvrages placent les 1 sur la sous-diagonale. Cette matrice transposée encode des chaînes orientées dans l’autre sens ; il faut vérifier la convention avant de recopier une base de Jordan.
Pour aller plus loin
valeur propre — Pour relier chaque nombre diagonal aux vecteurs que l’endomorphisme laisse sur une même direction.
matrice nilpotente — Pour approfondir la partie N d’un bloc et comprendre pourquoi ses puissances finissent par s’annuler.
endomorphisme nilpotent — Pour lire les tailles des blocs comme les longueurs des chaînes de vecteurs.
Exponentielle d'une matrice — Pour appliquer la décomposition en blocs à une série qui devient finie sur chaque partie nilpotente.
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