endomorphisme nilpotent

Imaginez une machine qui décale chaque coordonnée d’un vecteur d’une place, en faisant disparaître la première. Un passage raccourcit l’information utile, puis les passages suivants finissent par tout effacer. Un endomorphisme est dit nilpotent lorsque ce phénomène se produit pour tous les vecteurs après un même nombre fini d’applications. Le premier nombre de passages qui envoie nécessairement tout sur le vecteur nul est son indice de nilpotence.

Soit un espace vectoriel E et un endomorphisme f, c’est-à-dire une application linéaire de E dans lui-même. Pour tout entier positif n, la notation fⁿ désigne la composition de f avec elle-même n fois, et l’on pose f⁰ = Id_E. L’endomorphisme f est nilpotent lorsqu’un même entier positif n annule tous les vecteurs : $f^n=0_{E}f^n=0\_E$, où 0_E désigne l’endomorphisme nul de E.

Le plus petit entier positif qui vérifie cette égalité est l’indice de nilpotence. Si E n’est pas l’espace nul et si cet indice vaut p, alors $f^p=0_E\text{et}{f}^{p-1}\mathrm{\ne }{0}_{E}f^p=0\_E\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; f^\{p-1\}\backslash ne\; 0\_E$. Le premier fait garantit l’annulation ; le second garantit que p est bien minimal. Sur l’espace nul, l’indice vaut 1 et Id_E = 0_E.

Toute valeur propre d’un endomorphisme nilpotent est égale à 0. En dimension finie, une base adaptée donne une matrice triangulaire stricte, donc à diagonale nulle. Cette forme fait apparaître des chaînes de vecteurs successivement envoyés les uns sur les autres puis sur 0. Ces chaînes constituent les blocs nilpotents qui interviennent dans la décomposition de Jordan.

Dans l’espace vectoriel ℝ³, on utilise la base canonique formée des vecteurs e₁, e₂ et e₃. L’endomorphisme f décale les coordonnées selon la règle $f(x,y,z)=(y,z,0)f(x,y,z)=(y,z,0)$. Sa matrice dans cette base est :

1. Après une application, la première coordonnée disparaît : $f(x,y,z)=(y,z,0)f(x,y,z)=(y,z,0)$. L’endomorphisme f n’est pas nul, puisque f(e₂) = e₁.

2. Après deux applications, il ne reste que la troisième coordonnée : $f^2(x,y,z)=(z,0,0)f^2(x,y,z)=(z,0,0)$. L’endomorphisme f² n’est pas nul, puisque f²(e₃) = e₁.

3. Une troisième application annule chaque vecteur : $f^3(x,y,z)=(0,0,0)f^3(x,y,z)=(0,0,0)$. Ainsi, f³ est l’endomorphisme nul.

Le résultat est donc un indice de nilpotence égal à 3. Le contrôle consiste à suivre e₃ : $e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto 0e\_3\backslash mapsto\; e\_2\backslash mapsto\; e\_1\backslash mapsto\; 0$. La chaîne comporte trois applications avant 0, tandis que le calcul précédent montre que trois applications suffisent pour tous les vecteurs.

Pour tester une matrice carrée, on calcule ses puissances successives jusqu’à obtenir la matrice nulle. Dans l’exemple, A² n’est pas nulle mais A³ l’est : ce double constat donne directement l’indice 3. Si aucune puissance ne s’annule, il faut abandonner le critère de nilpotence.

Pour comprendre l’action sans multiplier toutes les matrices, on suit des vecteurs bien choisis. La chaîne e₃ vers e₂, puis e₁, puis 0 montre à la fois le mécanisme et la longueur minimale. Si une chaîne plus longue apparaît, elle impose un indice plus grand.

Dans l’étude d’un endomorphisme en dimension finie, la partie nilpotente devient visible dans une base adaptée sous forme de blocs triangulaires stricts. Lorsque la matrice n’est pas déjà sous cette forme, les chaînes de vecteurs fournissent une lecture plus informative que la seule diagonale.

Endomorphisme nilpotent et endomorphisme nul. L’endomorphisme nul annule tous les vecteurs dès la première application ; son indice vaut 1 sur un espace non nul. Dans l’exemple, f(e₂) = e₁, donc f n’est pas nul, bien que f³ le soit.

Nilpotence et présence de la valeur propre 0. Avoir 0 parmi ses valeurs propres signifie seulement qu’un vecteur propre non nul est envoyé sur 0. La nilpotence exige qu’une même puissance annule tous les vecteurs. Une matrice diagonale ayant pour diagonale 0 et 1 possède la valeur propre 0, mais aucune de ses puissances n’est nulle.

Nilpotence et inversibilité. Sur un espace non nul, un endomorphisme nilpotent n’est jamais inversible. En effet, si fⁿ = 0, la puissance fⁿ ne peut pas avoir d’inverse. Le cas de l’espace réduit au seul vecteur nul doit être isolé, car son unique endomorphisme est à la fois nul et identité.

Un exposant commun est indispensable. En dimension infinie, le fait que chaque vecteur finisse par être annulé ne suffit pas si le nombre d’applications dépend du vecteur. Sur les suites à support fini, le décalage vers la gauche annule chaque suite, mais aucune puissance unique n’annule toutes les suites. Il faut donc chercher un entier valable sur tout l’espace.

L’indice est le premier exposant qui convient. De l’égalité f³ = 0, on déduit aussi f⁴ = 0, mais pas un indice égal à 4. Dans l’exemple, f²(e₃) = e₁ prouve que f² n’est pas nul ; le cas charnière est donc bien 3.

La diagonale nulle ne suffit pas dans une base quelconque. Une matrice de diagonale nulle peut avoir une puissance non nulle à tout ordre. La forme triangulaire stricte est le critère pertinent ici. La présentation par matrice triangulaire adaptée et la décomposition de Jordan se placent dans le cadre de la dimension finie.

espace vectoriel — Pour situer le domaine sur lequel agit un endomorphisme et les règles de linéarité qu’il respecte.

valeur propre — Pour approfondir pourquoi toute valeur propre d’un endomorphisme nilpotent doit être nulle.

Vecteur propre — Pour distinguer un vecteur propre des vecteurs qui forment une chaîne nilpotente.