espace vectoriel

Imaginez des flèches dessinées sur une feuille. On peut en additionner deux en additionnant leurs déplacements, ou allonger une flèche en multipliant sa longueur par un nombre. Un espace vectoriel est un univers où ces deux gestes restent toujours possibles et obéissent à des règles cohérentes.

Les objets manipulés sont les vecteurs. Les nombres qui les agrandissent, les réduisent ou les retournent sont les scalaires. L’idée dépasse les flèches : les vecteurs peuvent aussi être des listes de nombres ou d’autres objets additionnables.

Un espace vectoriel sur un corps de scalaires K est un ensemble E dont les éléments, appelés vecteurs, peuvent être additionnés entre eux et multipliés par un scalaire. L’addition fait de E un groupe abélien : elle est associative et commutative, possède un vecteur nul, et chaque vecteur possède un opposé.

Pour deux scalaires a et b de K et deux vecteurs u et v de E, la multiplication scalaire vérifie les quatre compatibilités suivantes :
$a\cdot (u+v)=a\cdot u+a\cdot va\backslash cdot(u+v)=a\backslash cdot\; u+a\backslash cdot\; v$ ;
$(a+b)\cdot u=a\cdot u+b\cdot u(a+b)\backslash cdot\; u=a\backslash cdot\; u+b\backslash cdot\; u$ ;
$a\cdot (b\cdot u)=(ab)\cdot ua\backslash cdot(b\backslash cdot\; u)=(ab)\backslash cdot\; u$ ;
$1\cdot u=u1\backslash cdot\; u=u$, où 1 est l’unité multiplicative de K.

Le choix du corps fait partie de la structure. Par exemple, les couples de nombres réels forment un espace vectoriel sur les nombres réels avec l’addition et la multiplication par un scalaire définies coordonnée par coordonnée. Ces règles rendent possibles les combinaisons linéaires, qui sont au cœur de l’algèbre linéaire.

La structure réunit quatre ingrédients. Le corps K fournit les scalaires et leurs opérations. L’ensemble E fournit les vecteurs. Une addition interne associe à deux vecteurs un nouveau vecteur de E. Une multiplication externe associe à un scalaire de K et à un vecteur de E un nouveau vecteur de E.

L’addition doit d’abord donner à E une structure de groupe abélien. La multiplication scalaire dépend ensuite des opérations de K et doit se distribuer sur les deux additions. L’unité de K doit laisser chaque vecteur inchangé. Ensemble, ces données suffisent à former et calculer toute combinaison linéaire de vecteurs. Un dessin, une orientation ou une norme peuvent aider à interpréter certains exemples, mais ne font pas partie de la définition générale.

Prenons l’espace des couples de nombres réels. Les données sont les vecteurs u = (1, 2) et v = (3, −1), ainsi que les scalaires 2 et −1. Nous allons former la combinaison de u et v ayant ces deux coefficients.

1. Multiplier u par 2 : 2u = (2, 4).
2. Multiplier v par −1 : −v = (−3, 1).
3. Additionner les résultats :
Le résultat est le vecteur (−1, 5), qui appartient encore à l’espace.

Un contrôle refaisable consiste à vérifier une distributivité avec les mêmes vecteurs. Comme u + v = (4, 1), on obtient 2(u + v) = (8, 2). De l’autre côté, 2u + 2v = (2, 4) + (6, −2) = (8, 2). Les deux calculs coïncident. La figure représente les trois vecteurs depuis la même origine.

Pour manipuler des listes de nombres de même longueur, on choisit souvent l’espace des n-uplets sur un corps donné. L’addition et la multiplication par un scalaire se font coordonnée par coordonnée. Si les objets n’ont pas tous la même taille, ce cadre n’est pas directement adapté.

Pour tester si une collection donnée forme un espace vectoriel, on vérifie d’abord que l’addition et la multiplication scalaire ne font pas sortir de la collection. Si cette stabilité échoue, on cherche plutôt un sous-ensemble stable ou un autre cadre algébrique.

En algèbre linéaire, le cadre vectoriel est pertinent lorsque les opérations centrales sont l’addition et la multiplication par des scalaires. Si le problème exige en plus des longueurs ou des angles, il faut enrichir l’espace avec une structure appropriée au lieu de les supposer présents.

Un sous-espace vectoriel est une partie d’un espace vectoriel qui contient le vecteur nul et reste stable par addition et multiplication scalaire. Dans ℝ², une droite passant par l’origine peut être un sous-espace ; une droite parallèle qui ne passe pas par l’origine ne l’est pas.

Un espace affine possède des points que l’on peut déplacer par des vecteurs, mais il n’a pas d’origine privilégiée. Le test décisif est l’addition de deux éléments : additionner deux vecteurs a un sens dans un espace vectoriel, tandis qu’additionner deux points n’est pas une opération affine intrinsèque.

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Celui-ci ajoute des longueurs et des angles. Un espace vectoriel général ne fournit donc pas, à lui seul, de distance entre ses vecteurs.

L’ensemble vide n’est jamais un espace vectoriel : il ne contient aucun vecteur nul. À l’autre extrême, l’ensemble réduit au seul vecteur nul est bien un espace vectoriel ; sa dimension est 0.

Être fermé pour l’addition ne suffit pas. Dans ℝ², l’ensemble des couples à coordonnées positives reste stable par addition, mais la multiplication par −1 en fait sortir tout vecteur non nul. Il faut vérifier les deux opérations.

Le corps de scalaires n’est pas un détail implicite. Un même ensemble peut avoir des propriétés différentes selon que les scalaires sont réels ou complexes. Il faut donc toujours préciser « espace vectoriel sur K » avant de parler de base ou de dimension.

Des opérations qui ressemblent à une addition et à une multiplication scalaire ne suffisent pas si un axiome échoue. Le symptôme est une identité fausse, par exemple une distributivité. Dans ce cas, on ne doit pas employer les résultats généraux de l’algèbre linéaire sans identifier la structure réellement obtenue.

Une combinaison linéaire montre comment les deux opérations d’un espace vectoriel construisent de nouveaux vecteurs à partir d’une famille donnée.