Combinaison linéaire

Prenons deux flèches. La première avance de 1 vers la droite et de 2 vers le haut ; la seconde, de 2 vers la droite et de 1 vers le bas. On peut allonger, raccourcir ou retourner chaque flèche, puis les additionner.

Multiplier la première par 3 et soustraire la seconde mène au vecteur (1, 7). Cette fabrication est une combinaison linéaire : chaque vecteur reçoit un coefficient, puis les vecteurs ainsi pondérés sont additionnés. Les coefficients peuvent notamment être positifs, négatifs ou nuls.

Dans un espace vectoriel E défini sur un corps de scalaires K, considérons des vecteurs v₁, …, v_n de E. Une combinaison linéaire de cette famille est tout vecteur obtenu en choisissant des scalaires λ₁, …, λ_n dans K, puis en formant la somme pondérée suivante :Le nombre de termes est fini. Les coefficients peuvent être nuls ; si tous le sont, le résultat est le vecteur nul.

L’ensemble de toutes ces combinaisons est le sous-espace engendré par la famille. Dire que la famille engendre un sous-espace signifie que chaque vecteur de ce sous-espace possède au moins une telle écriture. Lorsque les vecteurs générateurs sont dépendants, plusieurs choix de coefficients peuvent produire le même vecteur.

La famille est libre lorsque la combinaison qui donne le vecteur nul impose que tous les coefficients soient nuls :Si la famille initiale est libre, lui adjoindre un vecteur w la rend dépendante exactement lorsque w est une combinaison linéaire des vecteurs initiaux. Sans cette hypothèse de liberté, la famille agrandie peut déjà être dépendante pour une autre raison.

On travaille dans le plan muni de coordonnées réelles. Le trajet sera construit avec deux vecteurs et deux coefficients ; sa représentation par flèches rendra visibles les deux déplacements successifs.

Données.
Le premier vecteur est u = (1, 2).
Le second vecteur est v = (2, −1).
Le coefficient de u est 3.
Le coefficient de v est −1.

Étape 1. On multiplie chaque coordonnée de u par 3 :

Étape 2. Le coefficient −1 retourne v :

Étape 3. On additionne les coordonnées de même rang :Le vecteur obtenu est donc (1, 7). La figure décompose ce résultat en un déplacement 3u suivi d’un déplacement −v.

Contrôle. La première coordonnée vaut 3 × 1 − 2 = 1, et la seconde vaut 3 × 2 − (−1) = 7. Les deux calculs retrouvent bien les coordonnées annoncées.

Pour savoir si un vecteur cible appartient au sous-espace engendré par une famille, on cherche des coefficients qui reconstruisent exactement ses coordonnées. Si aucun choix ne convient, le vecteur est hors du sous-espace ; un test d’appartenance remplace alors une simple inspection du dessin.

Pour décrire tout un sous-espace, on choisit une famille génératrice. Une base de ce sous-espace est une famille à la fois génératrice et libre. L’absence de relation linéaire non triviale entre ses vecteurs garantit alors l’unicité des coordonnées.

Dans un calcul matriciel, chaque colonne du produit d’une matrice par un vecteur de coefficients est une contribution pondérée. Cette lecture par combinaisons linéaires est utile pour résoudre un système ; l’élimination de Gauss devient préférable lorsque les coefficients inconnus sont nombreux.

Somme de vecteurs. Une somme est le cas particulier où tous les coefficients valent 1. Ainsi, u + v est une somme, tandis que 3u − v est une combinaison linéaire qui n’est pas cette simple somme.

Produit scalaire. Une combinaison linéaire produit un vecteur ; un produit scalaire de deux vecteurs produit un scalaire. Avec u = (1, 2) et v = (2, −1), 3u − v vaut (1, 7), alors que le produit scalaire usuel u · v vaut 0.

Combinaison affine. Elle impose en plus que la somme des coefficients soit égale à 1. Les coefficients 3 et −1 de l’exemple ont pour somme 2 : ils définissent une combinaison linéaire, mais pas une combinaison affine.

Écriture non unique. Si les vecteurs générateurs sont liés, un même résultat peut correspondre à plusieurs listes de coefficients. Le symptôme est une combinaison nulle non triviale ; pour obtenir des coordonnées uniques, il faut extraire une famille libre.

Coefficient nul. Un vecteur associé au coefficient 0 ne contribue pas à la somme, mais sa présence ne rend pas l’écriture interdite. Il faut conserver cette possibilité au lieu d’exiger que chaque générateur intervienne effectivement.

Scalaires dépendants du cadre. Les coefficients doivent appartenir au corps sur lequel l’espace vectoriel est défini. Une écriture autorisée avec des nombres complexes peut donc être impossible si le même problème est posé uniquement sur les nombres réels.

Dépendance lors d’un ajout. L’affirmation « ajouter w crée une dépendance exactement lorsque w est engendré par la famille » suppose que la famille de départ est libre. Si elle est déjà liée, l’ajout reste dépendant même lorsque w n’appartient pas à son sous-espace engendré ; il faut d’abord tester la famille initiale.

L’article espace vectoriel situe les combinaisons linéaires dans la structure où l’addition des vecteurs et leur multiplication par des scalaires sont définies.

La fiche famille libre approfondit le critère qui garantit l’unicité des coefficients dans une décomposition sur une base.