famille génératrice

Sur un quadrillage, imaginez deux flèches que l'on peut allonger, raccourcir ou retourner, puis additionner. Si ces deux flèches permettent d'atteindre n'importe quel point du plan, elles forment une famille génératrice du plan.

Les coefficients indiquent combien de fois chaque direction intervient. Plusieurs recettes peuvent mener à la même flèche lorsque la famille contient des vecteurs redondants. Ce qui compte est de pouvoir produire tous les vecteurs de l'espace visé.

Soit E un espace vectoriel sur un corps de scalaires, par exemple les nombres réels. Une famille finie de vecteurs v₁, v₂, …, vₙ de E est génératrice de E lorsque chaque vecteur u de E s'obtient comme une combinaison linéaire de ces vecteurs. Autrement dit, pour tout u, il existe des scalaires λ₁, λ₂, …, λₙ tels que :

L'ensemble de toutes ces combinaisons est le sous-espace engendré par la famille, aussi appelé span. La condition s'écrit donc : le sous-espace engendré est E. Le choix des coefficients n'est pas forcément unique. Il le devient lorsque la famille est aussi libre, c'est-à-dire sans relation linéaire non triviale entre ses vecteurs. Une famille à la fois libre et génératrice est une base. Comme la famille considérée est finie, on peut en retirer les vecteurs redondants jusqu'à extraire une base de E.

Dans le plan réel ℝ², on considère le premier vecteur v₁ = (1, 1), le second vecteur v₂ = (1, −1) et le vecteur cible u = (4, 2). On cherche deux nombres réels a et b tels que u = av₁ + bv₂.

1. La première coordonnée impose a + b = 4, tandis que la seconde impose a − b = 2.

2. En additionnant les deux équations, on obtient 2a = 6, donc a = 3. La première équation donne alors b = 1.

3. Ainsi, u = 3v₁ + v₂. Le contrôle coordonnée par coordonnée donne 3(1, 1) + (1, −1) = (3, 3) + (1, −1) = (4, 2).

Le même calcul fonctionne pour une cible (x, y) quelconque : a = (x + y)/2 et b = (x − y)/2. Il prouve que (v₁, v₂) engendre tout ℝ². Le trajet vectoriel de l'exemple rend visible l'addition de 3v₁ et de v₂ jusqu'à u.

Pour décrire tous les vecteurs d'un sous-espace, on part d'une famille candidate et l'on vérifie que ses combinaisons couvrent bien la cible. Si seuls certains vecteurs doivent être produits, on travaille plutôt dans le sous-espace qu'ils engendrent.

Pour résoudre un problème en coordonnées, on exprime le vecteur cherché avec les générateurs disponibles, puis on résout les équations sur les coefficients. Lorsque l'on veut une écriture unique, une base est préférable à une famille génératrice redondante.

Pour simplifier une liste de vecteurs, on retire successivement ceux qui sont déjà engendrés par les autres. Si le sous-espace obtenu cesse d'être l'espace visé, le dernier vecteur retiré était nécessaire.

Famille génératrice et famille libre. Une famille génératrice couvre tout l'espace visé ; une famille libre interdit qu'un vecteur soit une combinaison des autres. Dans ℝ², ((1, 0), (0, 1), (1, 1)) est génératrice, mais pas libre.

Famille génératrice et base. Une base satisfait les deux critères : elle est génératrice et libre. La famille ((1, 0), (0, 1), (1, 1)) engendre ℝ², mais seule une sous-famille comme ((1, 0), (0, 1)) en constitue une base.

L'espace ambiant doit être nommé. Le seul vecteur (1, 0) engendre l'axe horizontal de ℝ², mais pas ℝ². Le symptôme est une coordonnée verticale toujours nulle ; il faut comparer le sous-espace engendré à la bonne cible.

Un vecteur redondant ne détruit pas l'engendrement. Ajouter (1, 1) aux vecteurs (1, 0) et (0, 1) conserve une famille génératrice de ℝ². En revanche, les coefficients ne sont plus uniques ; il faut extraire une base si l'unicité est requise.

Le vecteur nul n'apporte aucune direction. Une famille qui contient (0, 0) peut encore être génératrice grâce à ses autres vecteurs. On peut supprimer le vecteur nul sans changer l'espace engendré.

Le cas de dimension zéro est particulier. La famille vide engendre l'espace réduit au seul vecteur nul, selon la convention que la somme vide vaut le vecteur nul. Elle n'engendre aucun espace contenant un vecteur non nul.

La fiche Combinaison linéaire précise l'opération qui permet de fabriquer les vecteurs à partir d'une famille.

La fiche famille libre donne le critère qui transforme une famille génératrice sans redondance en base.

La fiche espace vectoriel replace l'engendrement dans la structure où l'addition et la multiplication par un scalaire sont définies.