Base extraite (théorème)

Imaginez une boîte de quatre vecteurs permettant de fabriquer tous les vecteurs de l’espace. L’un d’eux est peut-être superflu, parce qu’il se fabrique déjà avec les autres. On peut alors le retirer sans perdre cette capacité. En répétant ce tri, il reste juste assez de vecteurs pour tout engendrer, sans redondance : ils forment une base. Le théorème de la base extraite garantit qu’un tel choix est toujours possible.

Soit un espace vectoriel E sur un corps de scalaires. Une famille G est dite génératrice lorsque tout vecteur de E est une combinaison linéaire finie de vecteurs de G. En notant Vect(G) l’ensemble de ces combinaisons, cette condition s’écrit $\mathrm{Vect}(G)=E\backslash operatorname\{Vect\}(G)=E$.

Le théorème affirme qu’il existe dans G une sous-famille B qui est à la fois génératrice de E et linéairement indépendante. Cette double propriété fait de B une base. « Extraire » signifie donc sélectionner certains vecteurs de la famille initiale, sans en modifier ni en ajouter. La base obtenue n’est généralement pas unique.

En dimension finie, on sélectionne d’abord un nombre fini de générateurs, puis on supprime chaque vecteur qui est combinaison linéaire de ceux que l’on conserve. Pour un espace de dimension quelconque et une famille infinie, le résultat reste valable, mais sa preuve d’existence repose en général sur le lemme de Zorn, donc sur une forme de l’axiome du choix. En prenant E lui-même comme famille génératrice, le théorème donne aussi l’existence d’une base de tout espace vectoriel dans ce cadre.

Soit E un espace vectoriel et G une famille génératrice de E. Alors il existe une sous-famille B de G telle que $B\subseteq G,\mathrm{Vect}(B)=EB\backslash subseteq\; G,\backslash qquad\; \backslash operatorname\{Vect\}(B)=E$ et que B soit linéairement indépendante. Ainsi, B est une base de E obtenue uniquement en retirant de G les vecteurs redondants. Si G est finie, la suppression peut être menée jusqu’à ce qu’aucun vecteur restant ne dépende des autres.

Le cadre doit être un espace vectoriel sur un corps, et la famille de départ doit engendrer tout l’espace visé. Pour appliquer le tri en dimension finie, on vérifie à chaque retrait que les vecteurs conservés engendrent encore E. On s’arrête lorsqu’ils sont aussi linéairement indépendants : la sous-famille obtenue est alors une base.

Si la famille initiale n’engendre qu’un sous-espace F strictement contenu dans E, aucune sélection de ses vecteurs ne peut devenir une base de E. Elle peut seulement fournir une base de F. Pour obtenir une base de E, il faut d’abord ajouter des vecteurs hors de F, ce qui relève du théorème de la base incomplète.

Dans l’espace réel à trois dimensions ℝ³, considérons les quatre vecteurs v₁ = (1, 0, 0), v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (1, 1, 0) et v₄ = (0, 0, 1). La famille formée par ces quatre vecteurs engendre ℝ³.

1. Les vecteurs v₁, v₂ et v₄ donnent déjà les trois directions coordonnées. Toute valeur (x, y, z) s’écrit x v₁ + y v₂ + z v₄.

2. Le troisième vecteur est redondant, car la relation exacte est :On peut donc retirer v₃ sans changer l’espace engendré.

3. Les trois vecteurs conservés sont linéairement indépendants. En effet, l’égalité a v₁ + b v₂ + c v₄ = (0, 0, 0) impose successivement a = 0, b = 0 et c = 0.

La sous-famille {v₁, v₂, v₄} est donc une base extraite. Le contrôle est refaisable : elle contient trois vecteurs indépendants de ℝ³ et engendre chaque triplet (x, y, z). Le schéma de dépendance matérialise le retrait de v₃ et la conservation des trois directions nécessaires.

Pour alléger une liste de générateurs, on cherche un vecteur qui est combinaison linéaire des autres et on le retire. Si aucun vecteur n’est redondant, la famille génératrice est déjà une base et il faut la conserver entière.

Dans une matrice, une réduction de Gauss repère les colonnes pivots. Les colonnes correspondantes de la matrice initiale forment une base de son espace colonne. Si les colonnes ne couvrent pas tout l’espace ambiant, le résultat est une base de cet espace colonne, pas de l’espace ambiant.

Pour calculer des coordonnées, une base extraite remplace une famille redondante par un système de repérage sans ambiguïté. Si l’objectif est au contraire de compléter des vecteurs indépendants déjà choisis, on emploie le théorème de la base incomplète.

Avec le théorème de la base incomplète. La base extraite part d’une famille génératrice et retire des vecteurs. La base incomplète part d’une famille libre et ajoute des vecteurs. Une famille génératrice redondante appelle le premier ; une liste indépendante qui n’engendre pas encore l’espace appelle le second.

Avec une famille génératrice quelconque. Une base ne tolère aucune dépendance linéaire, tandis qu’une famille génératrice peut contenir des doublons ou le vecteur nul. Si retirer un vecteur ne change pas l’espace engendré, la famille de départ n’est pas une base minimale.

Avec une base imposée à l’avance. Le théorème garantit l’existence d’au moins une base incluse dans la famille, pas la présence de n’importe quelle base souhaitée. Dans l’exemple, {v₁, v₃, v₄} convient aussi, mais une base contenant un vecteur absent de la famille ne peut pas être extraite.

Famille infinie. Le théorème reste valable, mais la consigne « retirer les vecteurs redondants un par un » ne constitue pas à elle seule une preuve générale : après une infinité de retraits, la famille restante pourrait ne plus engendrer l’espace. La preuve d’existence emploie en général un argument maximal, typiquement le lemme de Zorn, donc une forme de l’axiome du choix.

Choix non unique. Plusieurs vecteurs peuvent jouer le même rôle. Dans l’exemple, retirer v₃ donne {v₁, v₂, v₄}, mais retirer v₂ donne aussi {v₁, v₃, v₄}. Il ne faut donc pas chercher « la » base extraite sans critère supplémentaire.

Espace nul. Dans l’espace réduit au seul vecteur nul, la base est la famille vide. Une famille génératrice peut contenir le vecteur nul, mais celui-ci doit être retiré : il ne peut appartenir à aucune famille linéairement indépendante.

Dépendance au corps. Les combinaisons linéaires sont calculées avec les scalaires du corps fixé. Une même liste de vecteurs peut avoir des propriétés différentes si ce corps change ; il faut donc conserver le cadre annoncé au lieu de transporter automatiquement l’extraction.

Famille génératrice — Pour reconnaître précisément la propriété de départ et vérifier qu’une liste couvre bien l’espace visé.

Base incomplète (théorème) — Pour étudier l’opération duale : compléter une famille libre au lieu de réduire une famille génératrice.

Lemme de Zorn — Pour comprendre l’argument maximal qui assure l’existence d’une base extraite dans le cas infini.