famille libre

Dans un plan quadrillé, une flèche va d’un pas vers la droite et une autre d’un pas vers le haut. Ces deux directions ne se reconstruisent pas l’une avec l’autre. Chacune apporte donc une information nouvelle.

Ces deux vecteurs forment une famille libre. Même en les allongeant, en les raccourcissant ou en les retournant par des coefficients, aucune addition ne donne le vecteur nul, sauf en multipliant les deux vecteurs par zéro.

Soit une famille finie de vecteurs v₁, …, v_n appartenant à un même espace vectoriel sur un même corps de scalaires. Elle est libre, ou linéairement indépendante, lorsque toute combinaison linéaire égale au vecteur nul impose que chacun de ses coefficients λ₁, …, λ_n soit nul :

Cette solution est dite triviale. Pour une famille finie, le critère équivaut à dire qu’aucun vecteur ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Si une relation nulle possède au moins un coefficient non nul, la famille est au contraire liée. La liberté ne signifie pas que la famille engendre tout l’espace : lorsqu’une famille est à la fois libre et génératrice, elle constitue une base.

Dans le plan réel ℝ², considérons les vecteurs u = (1, 0) et v = (0, 1). Leurs coordonnées sont les données du test. Nous cherchons tous les nombres réels α et β pour lesquels αu + βv est le vecteur nul.

1. Remplaçons u et v par leurs coordonnées, puis effectuons les multiplications et l’addition coordonnée par coordonnée :

2. L’égalité des premières coordonnées donne α = 0. L’égalité des secondes coordonnées donne β = 0. La seule relation nulle est donc la relation triviale.

3. La famille (u, v) est libre. Le schéma matérialise les deux directions indépendantes. Pour contrôler le calcul, toute combinaison αu + βv redonne exactement le couple (α, β), qui ne peut être (0, 0) que si les deux coefficients sont nuls.

Pour tester des vecteurs donnés par leurs coordonnées, on résout le système homogène obtenu en égalant leur combinaison linéaire au vecteur nul. Une solution non triviale impose le verdict « famille liée » ; si la solution nulle est la seule, la famille est libre.

Lorsque les vecteurs forment les colonnes d’une matrice, le calcul du rang donne le même diagnostic. La famille est libre si le rang égale le nombre de vecteurs. Pour une matrice carrée, un déterminant non nul fournit un test plus direct.

Pour construire une base à partir de vecteurs candidats qui engendrent l’espace visé, on conserve ceux qui maintiennent la liberté et on écarte tout nouveau vecteur déjà engendré par les précédents. Si l’objectif est seulement de décrire l’espace engendré, une famille génératrice minimale est alors préférable à une liste redondante.

Famille liée. Elle admet au moins une combinaison linéaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls. Dans ℝ², ((1, 0), (0, 1)) est libre, tandis que l’ajout de (1, 1) rend la famille liée.

Famille génératrice. Elle doit produire tous les vecteurs de l’espace visé ; ce critère ne mesure pas la redondance. Dans ℝ³, ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) est libre mais ne génère pas tout ℝ³.

Famille orthogonale. Dans un espace muni d’un produit scalaire, des vecteurs deux à deux orthogonaux et non nuls forment une famille libre. La réciproque est fausse : dans ℝ², ((1, 0), (1, 1)) est libre sans être orthogonale.

Base. Une base réunit deux propriétés : elle est libre et elle engendre tout l’espace. Les deux vecteurs de l’exemple forment une base de ℝ², mais une famille libre de deux vecteurs dans ℝ³ n’est pas une base de ℝ³.

Vecteur nul. Une famille qui contient le vecteur nul n’est jamais libre : le coefficient 1 devant ce vecteur et des coefficients nuls devant les autres donnent immédiatement une relation non triviale.

Dimension et comptage. Dans un espace de dimension n, une famille de plus de n vecteurs est nécessairement liée. Avoir n vecteurs ou moins ne suffit toutefois pas à prouver la liberté ; deux vecteurs proportionnels dans ℝ² restent liés.

Corps des scalaires. Le verdict dépend du corps choisi. La famille (1, i), vue dans ℂ comme espace vectoriel réel, est libre sur ℝ ; elle est liée sur ℂ, car i fois le premier vecteur moins le second donne zéro. Il faut donc annoncer le corps avant le test.

Famille infinie. Les combinaisons linéaires ne comportent qu’un nombre fini de termes non nuls. Une famille infinie est libre lorsque chacune de ses sous-familles finies est libre ; chercher une « somme infinie » changerait de cadre et ne constitue pas le bon test algébrique.

Famille liée — Étudier le critère opposé et les formes concrètes que peut prendre une redondance entre vecteurs.

Combinaison linéaire — Revoir l’opération dont les coefficients servent à tester l’indépendance des vecteurs.

famille génératrice — Comprendre la seconde propriété nécessaire pour qu’une famille libre devienne une base.

espace vectoriel — Situer vecteurs, scalaires et combinaisons dans la structure où la liberté est définie.