Famille liée

Imaginez trois flèches : la première va d’un pas vers la droite, la deuxième d’un pas vers le haut, et la troisième réalise ces deux déplacements à la fois. Cette dernière n’apporte aucune direction nouvelle : elle s’obtient en additionnant les deux premières.

Ces trois vecteurs forment une famille liée. L’un d’eux peut être reconstruit à partir des autres par une combinaison linéaire. La famille contient donc une redondance algébrique, même si aucun vecteur n’est nul.

Soit une famille finie de vecteurs v₁, …, v_p d’un même espace vectoriel sur un même corps de scalaires. Elle est liée, ou linéairement dépendante, lorsqu’il existe des scalaires a₁, …, a_p, non tous nuls, tels que leur combinaison donne le vecteur nul :

La relation est dite non triviale parce qu’au moins un coefficient est non nul. Pour une famille finie, cela équivaut à pouvoir exprimer au moins un vecteur comme combinaison linéaire des autres. À l’inverse, la famille est libre, ou linéairement indépendante, si l’égalité précédente impose que tous les coefficients soient nuls. Une base d’un espace vectoriel est précisément une famille à la fois libre et génératrice. Pour une famille infinie, la dépendance signifie qu’une sous-famille finie vérifie une relation non triviale.

Dans le plan réel ℝ², considérons les trois vecteurs u = (1, 0), v = (0, 1) et w = (1, 1). Les deux coordonnées de chaque vecteur sont les données du calcul.

1. Additionnons les deux premiers vecteurs coordonnée par coordonnée : u + v = (1 + 0, 0 + 1) = (1, 1).

2. Le résultat est exactement w. En ramenant tous les termes du même côté, on obtient la relation suivante : $u+v-w=0u+v-w=0$.

3. Les coefficients de u, v et w sont respectivement 1, 1 et −1. Ils ne sont pas tous nuls : la famille (u, v, w) est donc liée.

Le schéma vectoriel matérialise la même redondance par une construction bout à bout. Pour contrôler le verdict, remplaçons chaque vecteur dans la relation : (1, 0) + (0, 1) − (1, 1) = (0, 0).

Pour tester une famille finie donnée par ses coordonnées, on cherche les coefficients d’une combinaison linéaire nulle. Si le système homogène admet une solution non nulle, la famille est liée ; si sa seule solution est nulle, elle est libre.

Dans une liste de vecteurs générateurs, une relation non triviale signale une redondance. Un vecteur associé à un coefficient non nul peut être retiré sans changer l’espace engendré. Si l’objectif est seulement d’engendrer l’espace, on préfère alors une sous-famille plus courte.

Dans un espace de dimension finie connue, le comptage fournit parfois un verdict immédiat : toute famille comportant plus de vecteurs que la dimension est liée. Quand le nombre de vecteurs ne dépasse pas la dimension, ce comptage ne suffit pas et il faut tester une relation.

Famille libre. Elle se distingue par le test de la combinaison nulle : seule la solution où tous les coefficients valent zéro est admise. Ainsi, ((1, 0), (0, 1)) est libre dans ℝ², tandis que l’ajout de (1, 1) rend la famille liée.

Famille génératrice. Cette propriété demande si toutes les directions de l’espace visé peuvent être obtenues, et non si les vecteurs sont redondants. Dans ℝ², ((1, 0), (0, 1), (1, 1)) est à la fois génératrice et liée.

Base. Une base doit satisfaire les deux critères : être libre et engendrer tout l’espace. La famille ((1, 0), (0, 1)) est une base de ℝ² ; la famille de trois vecteurs de l’exemple ne l’est pas, à cause de sa dépendance.

Présence du vecteur nul. Toute famille contenant le vecteur nul est liée : on lui attribue le coefficient 1 et aux autres le coefficient 0. Il est inutile de chercher une relation plus compliquée.

Vecteurs répétés ou proportionnels. Deux vecteurs égaux créent immédiatement une relation de coefficients 1 et −1. Deux vecteurs non nuls proportionnels font de même après ajustement du coefficient ; des directions dessinées différemment ne garantissent donc pas la liberté.

Comptage insuffisant. Dans un espace de dimension n, plus de n vecteurs imposent une famille liée. En revanche, n vecteurs ou moins peuvent encore être liés : dans ℝ², ((1, 0), (2, 0)) en fournit un exemple.

Retrait ou ajout. Retirer n’importe quel vecteur d’une famille liée ne produit pas forcément une famille libre. Il faut retirer un vecteur engagé avec un coefficient non nul dans une relation, puis recommencer le test si d’autres dépendances subsistent.

famille libre — Approfondir le critère opposé et comprendre pourquoi l’indépendance linéaire est nécessaire pour former une base.

Combinaison linéaire — Revenir à l’opération qui construit les relations de dépendance à partir de coefficients scalaires.

famille génératrice — Distinguer la couverture de l’espace de l’absence de redondance entre les vecteurs.

espace vectoriel — Situer les familles de vecteurs dans la structure algébrique où addition et multiplication par un scalaire sont définies.