Base incomplète (théorème)

Dans l'espace à trois dimensions, deux directions indépendantes ne suffisent pas à décrire tous les déplacements. Les vecteurs (1, 0, 0) et (0, 1, 0) indiquent deux directions distinctes ; le vecteur (0, 0, 1) en apporte une troisième. Le théorème de la base incomplète garantit que l'on peut effectuer ce complément sans perdre l'indépendance des premiers vecteurs. On obtient alors une base : chaque vecteur de l'espace se décrit de manière unique avec ces trois directions.

Soit E un espace vectoriel et soit (u₁, …, u_r) une famille libre de E, c'est-à-dire une famille dont la seule combinaison linéaire donnant le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Le théorème de la base incomplète affirme qu'il existe une famille de vecteurs (u_r+1, …, u_n) telle que (u₁, …, u_n) soit une base de E lorsque E est de dimension finie n. La famille de départ est donc conservée et complétée par des vecteurs supplémentaires.

Une base est à la fois libre et génératrice : elle permet d'exprimer tout vecteur de E, et cette expression est unique. Le nombre de vecteurs ajoutés vaut n − r, car une famille libre de r vecteurs peut être prolongée jusqu'à la dimension de l'espace. En dimension infinie, l'existence d'un tel prolongement pour une famille libre quelconque s'appuie sur le lemme de Zorn ; l'argument ne fournit pas nécessairement une construction calculable.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie n et si une famille libre contient r vecteurs, alors cette famille peut être prolongée en une base de E en ajoutant exactement n − r vecteurs. En dimension infinie, toute famille libre peut également être prolongée en une base, mais cette existence utilise le lemme de Zorn.

Les mots « libre » et « base » ne sont pas interchangeables : la famille initiale est seulement indépendante, tandis que la famille complétée doit aussi engendrer tout l'espace.

Le résultat s'applique à un espace vectoriel E sur un corps de scalaires, avec une famille de vecteurs déjà libre. En dimension finie, il faut connaître la dimension n de E pour déterminer le nombre maximal de vecteurs et le nombre d'ajouts. La liberté est indispensable : une famille qui contient une redondance ne peut pas devenir une base en conservant tous ses vecteurs.

Par exemple, dans ℝ³, la famille ((1, 0, 0), (2, 0, 0)) n'est pas libre, car ses deux vecteurs portent la même direction. Elle ne peut donc pas être complétée en base en gardant ces deux éléments ; il faut d'abord retirer la redondance, puis compléter une famille libre.

Dans ℝ³, considérons la famille libre u₁ = (1, 0, 0) et u₂ = (0, 1, 0). Elle contient r = 2 vecteurs, tandis que ℝ³ a la dimension n = 3. Il faut donc ajouter un seul vecteur.

Choisissons u₃ = (0, 0, 1). Une combinaison linéaire nulle s'écrit a u₁ + b u₂ + c u₃ = (0, 0, 0). En comparant les trois coordonnées, on obtient a = 0, b = 0 et c = 0 : les trois vecteurs restent libres.

La famille obtenue est donc une base de ℝ³. Pour un vecteur v = (x, y, z), l'expression v = x u₁ + y u₂ + z u₃ fournit ses coordonnées dans cette base. Le contrôle consiste à recomposer chaque coordonnée : (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z).

En algèbre linéaire, on utilise ce théorème lorsqu'une famille de directions pertinentes a déjà été trouvée, mais ne décrit pas encore tout l'espace. Le geste consiste à rechercher des vecteurs hors de l'espace engendré par la famille, jusqu'à atteindre une famille génératrice.

Pour construire une base adaptée à un calcul en dimension finie, on conserve les vecteurs libres déjà disponibles et l'on ajoute seulement le nombre nécessaire. Le critère observable est l'absence de solution non triviale dans la combinaison linéaire nulle ; dès que la dimension est atteinte, la famille est une base.

Une famille libre n'est pas encore forcément une base. Dans ℝ³, les deux vecteurs (1, 0, 0) et (0, 1, 0) sont libres, mais ils n'engendrent pas (0, 0, 1) ; la famille doit être complétée. À l'inverse, une base possède déjà les deux propriétés : liberté et génération de tout l'espace.

Compléter une famille libre ne signifie pas remplacer ses vecteurs par une famille quelconque. Le critère qui tranche est la conservation de la liberté, puis l'obtention d'une famille génératrice ; ajouter un vecteur dépendant ferait échouer la première condition.

Le théorème ne permet pas de compléter une famille qui n'est pas libre en conservant tous ses éléments. Une redondance, comme deux vecteurs colinéaires, produit une combinaison linéaire nulle non triviale ; il faut supprimer cette redondance avant d'ajouter des vecteurs.

En dimension finie n, une famille libre de n vecteurs est déjà une base : le nombre d'ajouts est alors n − n = 0. Une famille libre de plus de n vecteurs est impossible. En dimension infinie, le lemme de Zorn garantit l'existence d'un prolongement, mais ne donne pas toujours une procédure explicite pour choisir les vecteurs ajoutés.

Le principe de complétion relie directement les familles libres et les bases : une base peut être vue comme une famille libre devenue maximale, car aucun nouveau vecteur ne peut y être ajouté sans créer de dépendance linéaire. En dimension finie, cette idée se traduit par une construction successive ; en dimension infinie, elle prend la forme abstraite du lemme de Zorn.