AlgèbreNotion · Glossaire
Steinitz
Le théorème de Steinitz compare une famille libre F de n vecteurs et une famille génératrice G de m vecteurs d'un même espace vectoriel : on a n ≤ m. Il garantit aussi que les n vecteurs de F peuvent remplacer n vecteurs de G sans perdre l'engendrement. Cette possibilité d'échange explique pourquoi toutes les bases finies d'un même espace ont le même nombre de vecteurs, appelé sa dimension.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de liberté et d'engendrement.
- Vérifier sur un exemple dans ℝ³ quels vecteurs sont remplacés.
- Relier l'échange à l'unicité du cardinal des bases finies.
En clair
Imaginez trois vecteurs qui permettent d'atteindre tout point de l'espace. Vous voulez y introduire deux nouveaux vecteurs indépendants, sans perdre cette capacité. Le théorème de Steinitz garantit que deux des anciens vecteurs peuvent céder leur place aux nouveaux.
Cet échange révèle une contrainte de comptage : une famille sans redondance ne peut pas être plus grande qu'une famille qui engendre tout l'espace. Lorsque les deux familles sont des bases, elles ont donc autant de vecteurs.
Définition
Le théorème de Steinitz, aussi nommé lemme d'échange ou théorème de remplacement, concerne deux familles finies de vecteurs d'un même espace vectoriel. La famille F est libre : seule la combinaison linéaire dont tous les coefficients sont nuls donne le vecteur nul. La famille G est génératrice : chaque vecteur de l'espace est une combinaison linéaire de ses éléments.
Si F contient n vecteurs et G en contient m, alors n ≤ m. Plus précisément, il existe n éléments de G que l'on peut retirer puis remplacer par tous les éléments de F, de sorte que la famille obtenue reste génératrice. L'ordre choisi pour effectuer les échanges peut varier ; le résultat affirme l'existence d'un choix convenable.
Une base est à la fois libre et génératrice. En appliquant l'inégalité dans les deux sens à deux bases finies du même espace, leurs cardinaux sont égaux. Ce nombre commun définit la dimension de l'espace.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace ℝ3, prenons la famille génératrice G formée des vecteurs e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) et e3 = (0, 0, 1). Prenons aussi F formée de f1 = (1, 1, 0) et f2 = (0, 1, 1).
1. Si a f1 + b f2 est nul, sa première coordonnée impose a = 0, puis sa troisième impose b = 0. La famille F est donc libre.
2. Ici, F contient n = 2 vecteurs et G contient m = 3 vecteurs. L'inégalité annoncée donne bien 2 ≤ 3.
3. Retirons e1 et e2 de G, puis ajoutons f1 et f2. La nouvelle famille est (f1, f2, e3).
4. Le contrôle est direct : e2 = f2 − e3 et e1 = f1 − f2 + e3. Les trois vecteurs initiaux s'expriment donc avec la nouvelle famille, qui engendre toujours ℝ3.
En pratique
Pour comparer deux familles, on vérifie d'abord leurs rôles. Si l'une est libre et l'autre génératrice dans le même espace, Steinitz donne aussitôt une borne sur leurs nombres d'éléments, sans avoir à construire une base complète.
Pour compléter une famille libre, on part d'une famille génératrice disponible et l'on conserve les nouveaux vecteurs indépendants. Le théorème assure que des vecteurs générateurs peuvent être écartés sans perdre l'engendrement.
Pour établir la dimension d'un espace déjà muni d'une base finie, on compte les vecteurs de cette base. L'argument d'échange garantit que toute autre base du même espace donnera le même nombre.
À ne pas confondre
Famille libre et famille génératrice. Une famille libre interdit toute relation linéaire non triviale ; une famille génératrice permet d'obtenir tout vecteur de l'espace. Dans ℝ3, deux vecteurs peuvent être libres sans engendrer tout l'espace.
Base et famille génératrice. Une base cumule liberté et engendrement, tandis qu'une famille génératrice peut contenir des vecteurs redondants. Ainsi, ajouter e1 à la base (e1, e2, e3) conserve l'engendrement mais détruit la liberté.
Limites et pièges
Les deux familles vivent dans le même espace. Comparer leurs tailles sans espace vectoriel commun ne satisfait pas les hypothèses. Il faut d'abord préciser l'espace dans lequel liberté et engendrement sont évalués.
La liberté est indispensable. Si F contient un vecteur redondant, son nombre d'éléments ne mesure plus une information indépendante. Il faut en extraire une sous-famille libre avant d'appliquer le théorème.
L'égalité n = m est le cas charnière. Le remplacement enlève alors tous les éléments de G. La famille F obtenue est génératrice et, puisqu'elle était déjà libre, c'est une base.
L'énoncé donné est fini. Les nombres n et m comptent ici des familles finies. Pour des bases infinies, l'égalité des cardinaux relève d'une formulation en termes de cardinalité et demande un cadre distinct.
Pour aller plus loin
famille libre — Pour approfondir le critère d'indépendance exigé avant tout échange.
famille génératrice — Pour préciser comment une famille permet de reconstruire chaque vecteur de l'espace.
espace vectoriel — Pour replacer bases, combinaisons linéaires et dimension dans leur structure commune.
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