Drapeau

Dans l’espace ordinaire, partez du seul vecteur nul. Placez-le sur une droite passant par l’origine, puis placez cette droite dans un plan, et enfin ce plan dans tout l’espace. Chaque objet contient le précédent et lui ajoute au moins une direction.

Cette chaîne emboîtée est un drapeau. Il est complet lorsqu’elle gagne exactement une dimension à chaque étape : point de dimension 0, droite de dimension 1, plan de dimension 2, puis espace de dimension 3.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Un drapeau de E est une chaîne finie de sous-espaces V_i, dont le premier est réduit au vecteur nul et le dernier est E :

Le symbole ⊊ signifie que chaque inclusion est stricte : V_i contient réellement plus de vecteurs que V_i−1. Les dimensions forment donc une suite strictement croissante d’entiers, de 0 à n. Elles peuvent augmenter de plusieurs unités ; le nombre k d’étapes n’est alors pas nécessairement égal à n.

Le drapeau est complet lorsque la dimension de V_i vaut i pour chaque indice i. Dans ce cas, k vaut n et aucune dimension intermédiaire ne manque : la chaîne est maximale. Une base ordonnée de E produit un tel drapeau en prenant, à l’étape i, le sous-espace engendré par ses i premiers vecteurs. Réciproquement, tout drapeau complet admet des bases adaptées de cette forme, mais cette base n’est pas unique. L’ensemble de tous les drapeaux complets constitue la variété de drapeaux, un espace homogène utilisé en géométrie algébrique et en théorie des représentations.

Dans l’espace réel ℝ³, on utilise les trois vecteurs de coordonnées e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) et e₃ = (0, 0, 1). Les données sont la base ordonnée (e₁, e₂, e₃) et l’espace E = ℝ³.

1. On pose V₀ = {0}. Sa dimension vaut 0.

2. On prend V₁, la droite engendrée par e₁. Sa dimension vaut 1.

3. On prend V₂, le plan engendré par e₁ et e₂. Sa dimension vaut 2.

4. On termine par V₃, engendré par les trois vecteurs, donc égal à ℝ³ et de dimension 3.

Le résultat est un drapeau complet : V₀ ⊊ V₁ ⊊ V₂ ⊊ V₃. Le contrôle se refait en observant que e₁ ajoute la première direction, e₂ n’appartient pas à V₁ et e₃ n’appartient pas à V₂. Chaque inclusion est donc stricte et chaque dimension augmente exactement de 1.

Pour décrire un drapeau concret, on cherche une base adaptée. Les i premiers vecteurs de cette base doivent engendrer V_i. Si certaines dimensions sont absentes, on garde un drapeau partiel plutôt que de le déclarer complet.

Lorsqu’un automorphisme conserve chaque sous-espace d’un drapeau complet, sa matrice dans une base adaptée est triangulaire supérieure. Le critère observable est la stabilité de chaque V_i ; sans cette stabilité, cette forme de matrice n’est pas imposée.

En géométrie algébrique et en théorie des représentations, on étudie simultanément tous les drapeaux complets de E. Si une seule chaîne est nécessaire, ses sous-espaces suffisent ; si les chaînes doivent varier, la variété de drapeaux devient l’objet pertinent.

Une base ordonnée. Une base est une liste de vecteurs indépendants qui engendre E ; un drapeau est une liste de sous-espaces emboîtés. La base (e₁, e₂, e₃) construit le drapeau de l’exemple, mais remplacer e₂ par e₁ + e₂ conserve les mêmes sous-espaces : le drapeau ne détermine donc pas une base unique.

Une décomposition en somme directe. Dans une somme directe, on assemble des sous-espaces dont les vecteurs se décomposent de manière unique. Dans un drapeau, les sous-espaces sont au contraire inclus les uns dans les autres. Ainsi, la droite V₁ de l’exemple est contenue dans le plan V₂ : ces deux sous-espaces ne forment pas une somme directe.

Une inclusion répétée ne compte pas. Si deux termes successifs sont égaux, le symbole ⊊ n’est plus justifié et la suite écrite n’est pas un drapeau au sens retenu ici. Il faut supprimer le doublon ou choisir un sous-espace réellement plus grand.

Un saut de dimension est permis. Dans ℝ³, la chaîne {0} ⊊ P ⊊ ℝ³, où P désigne un plan vectoriel, est bien un drapeau. Elle n’est pas complète, car le sous-espace de dimension 1 manque.

Les dimensions ne suffisent pas à identifier la chaîne. Deux drapeaux complets de ℝ³ ont tous deux les dimensions 0, 1, 2 et 3, sans nécessairement contenir la même droite ni le même plan. Il faut comparer les sous-espaces eux-mêmes, pas seulement leur dimension.

Le glossaire espace vectoriel permet de revoir les sous-espaces, les familles génératrices et la dimension qui structurent chaque étage d’un drapeau.

L’article Au service des courbes ouvre sur la géométrie algébrique, domaine où la variété de drapeaux joue un rôle fondamental.