Sous-espace caractéristique

Imaginez une transformation qui, autour de la valeur propre 2, laisse une direction fixe et fait glisser une seconde direction vers la première. Chercher seulement les vecteurs propres repère la direction fixe. Répéter l'écart entre la transformation et la multiplication par 2 révèle aussi la direction entraînée par ce glissement.

Le sous-espace caractéristique rassemble ces deux sortes de directions : celles qui sont déjà propres et celles qui le deviennent après plusieurs applications de cet écart. Il conserve ainsi toute la partie de l'espace attachée à une même valeur propre.

Soit un espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme f de E. Pour une valeur propre λ, le sous-espace caractéristique associé est le noyau de la puissance (f − λ Id)^m, dès que l'entier m est assez grand pour que les noyaux successifs ne croissent plus. On peut toujours prendre m égal à la dimension de E. Si le polynôme minimal de f contient le facteur (X − λ) à la puissance r, le choix minimal pertinent est m = r.

Cette définition s'écrit $E_{\lambda }=\ker ((f-\lambda \mathrm{I}\mathrm{d}{)}^m)E\_\backslash lambda=\backslash ker\backslash bigl((f-\backslash lambda\backslash ,\backslash mathrm\{Id\})^m\backslash bigr)$. Le sous-espace E_λ est stable par f, et la restriction de f − λ Id à E_λ est nilpotente. Il est le plus grand sous-espace ayant ces deux propriétés.

Le sous-espace propre ker(f − λ Id) est inclus dans E_λ. L'inclusion est stricte lorsqu'une chaîne de vecteurs propres généralisés a une longueur supérieure à 1. Lorsque le polynôme minimal est scindé, E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques associés aux différentes valeurs propres.

La construction mobilise cinq éléments. L'espace vectoriel E fournit le cadre. L'endomorphisme f est la transformation étudiée. La valeur propre λ sélectionne la composante spectrale. L'opérateur f − λ Id mesure ce qui reste après retrait de la multiplication par λ. Enfin, l'exposant m est choisi assez grand pour stabiliser la suite des noyaux.

La valeur λ détermine donc l'opérateur dont on prend les puissances, tandis que la dimension finie garantit l'arrêt de la croissance des noyaux. Ces données suffisent à construire E_λ, à vérifier sa stabilité par f et à calculer sa dimension. La base choisie ou le tracé d'une matrice facilite les calculs, mais ne définit pas le sous-espace.

Dans l'espace ℝ³, on considère l'endomorphisme de matrice A dans la base (e₁, e₂, e₃). Ses valeurs propres sont 2 et 3.

1. Pour la valeur propre 2, on soustrait deux fois l'identité : . Son noyau est la droite engendrée par e₁ : c'est le sous-espace propre.

2. On élève cet écart au carré : . Son noyau est le plan engendré par e₁ et e₂. Une puissance supplémentaire ne l'agrandit plus.

3. Le sous-espace caractéristique E₂ est donc ce plan, de dimension 2. Il contient strictement le sous-espace propre associé à 2, de dimension 1. Pour la valeur propre 3, le sous-espace E₃ est la droite engendrée par e₃.

Le contrôle consiste à réunir les dimensions : 2 + 1 = 3. Les trois vecteurs de base appartiennent à E₂ ou E₃, leur intersection est réduite au vecteur nul, donc ℝ³ = E₂ ⊕ E₃.

Pour réduire une matrice, on calcule les noyaux successifs de A − λI jusqu'à ce que leur dimension cesse d'augmenter. Si le premier noyau a déjà la multiplicité algébrique de λ, le sous-espace propre suffit ; sinon, il faut poursuivre avec les puissances.

Pour construire une base de Jordan, on cherche dans le sous-espace caractéristique des vecteurs propres généralisés. Les chaînes obtenues décrivent la partie nilpotente que le seul sous-espace propre ne montre pas.

Dans une décomposition de Dunford, les sous-espaces caractéristiques séparent les différentes valeurs propres. Sur chacun d'eux, l'endomorphisme est la somme de la multiplication par λ et d'un endomorphisme nilpotent.

Sous-espace propre. Il est le noyau de f − λ Id, sans puissance supérieure. Dans l'exemple, celui de la valeur 2 est la droite engendrée par e₁, tandis que le sous-espace caractéristique est le plan engendré par e₁ et e₂.

Sous-espace stable. Un sous-espace stable est seulement envoyé dans lui-même par f. Il n'est caractéristique pour λ que si f − λ Id y est nilpotent et s'il est maximal pour cette propriété. Dans l'exemple, la droite engendrée par e₃ est stable, mais elle correspond à la valeur 3, pas à la valeur 2.

Une puissance trop petite. Le noyau de f − λ Id peut manquer des vecteurs propres généralisés. Le symptôme est que la dimension de ker((f − λ Id)^k) augmente encore quand k augmente ; il faut poursuivre jusqu'à stabilisation.

Une puissance inutilement grande. Après stabilisation, les puissances suivantes donnent le même noyau. En dimension n, l'exposant n suffit toujours ; le degré du facteur (X − λ) dans le polynôme minimal donne un choix plus précis.

Un polynôme non scindé sur le corps choisi. La somme des sous-espaces caractéristiques ne reconstitue l'espace que si le polynôme minimal se factorise en facteurs linéaires sur ce corps. Une rotation plane réelle sans valeur propre réelle impose de complexifier l'espace ou d'employer une décomposition adaptée aux facteurs irréductibles réels.

Un facteur simple. Si (X − λ) apparaît à la puissance 1 dans le polynôme minimal, le sous-espace caractéristique coïncide avec le sous-espace propre. L'écart entre les deux n'est donc pas systématique.

La fiche Sous-espace propre précise le premier noyau et permet de mesurer ce que les vecteurs propres généralisés lui ajoutent.

La décomposition de Dunford montre comment les composantes caractéristiques isolent la partie diagonalisable et la partie nilpotente d'un endomorphisme.

La réduction de Jordan organise les vecteurs propres généralisés en chaînes et traduit leur longueur dans les blocs de la matrice.