Sous-espace propre

Imaginez une transformation qui étire l’espace. Certains vecteurs restent sur leur droite : leur longueur change, leur sens peut s’inverser ou leur image devenir nulle. Pour une même valeur propre, tous ces vecteurs, auxquels on ajoute le vecteur nul, forment un sous-espace propre : il peut s’agir d’une droite, d’un plan ou, en dimension supérieure, d’un sous-espace de plus grande dimension.

Avec la matrice qui multiplie les deux premières coordonnées par 2 et la troisième par 3, tout le plan de coordonnées (x, y, 0) est multiplié par 2. Ce plan est donc le sous-espace propre associé à la valeur 2.

Soit E un espace vectoriel sur un corps de scalaires et f un endomorphisme de E. Une valeur propre λ de f est un scalaire pour lequel il existe un vecteur non nul v vérifiant $f(v)=\lambda vf(v)=\backslash lambda\; v$. Le sous-espace propre associé à λ, noté $E_{\lambda }E\_\{\backslash lambda\}$, rassemble toutes les solutions, y compris le vecteur nul.

En soustrayant λ fois l’application identité, on obtient la caractérisation $E_{\lambda }=\ker (f-\lambda {\mathrm{Id}}_E)E\_\{\backslash lambda\}=\backslash ker(f-\backslash lambda\backslash operatorname\{Id\}\_E)$. C’est bien un sous-espace vectoriel. Comme λ est une valeur propre, ce noyau contient au moins un vecteur non nul. Sa dimension est appelée multiplicité géométrique de λ.

En dimension finie, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. L’endomorphisme est diagonalisable exactement lorsque leur somme est tout E. De façon équivalente, son polynôme caractéristique doit être scindé sur le corps considéré et, pour chaque valeur propre, la multiplicité géométrique doit égaler la multiplicité algébrique.

Cinq éléments organisent la construction. L’espace E fournit les vecteurs. L’endomorphisme f transforme ces vecteurs sans sortir de E. La valeur propre λ fixe le facteur de multiplication recherché. L’application f − λ Id_E mesure alors l’écart entre l’image d’un vecteur et λ fois ce vecteur. Enfin, son noyau sélectionne exactement les vecteurs pour lesquels cet écart est nul.

Le choix de λ dépend de f, puis ce couple détermine le noyau et donc le sous-espace propre. Une base de ce noyau permet d’en décrire tous les vecteurs et d’en lire la dimension. Cette dimension dépend de λ : deux valeurs propres d’un même endomorphisme peuvent avoir des sous-espaces propres de dimensions différentes. Les coordonnées ou le dessin changent avec la base choisie, mais le sous-espace lui-même reste le même objet de E.

Dans l’espace réel ℝ³, considérons l’endomorphisme représenté dans la base canonique par la matrice A. Les données sont :

1. Soustrayons 2 fois la matrice identité :

2. Cherchons le noyau. Pour un vecteur de coordonnées (x, y, z), l’équation $(A-2I_3)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0(A-2I\_3)\backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash y\backslash \backslash z\backslash end\{pmatrix\}=0$ impose seulement z = 0. Les coordonnées x et y restent libres.

3. Le résultat est donc $E_2=\{(x,y,0):x,y\in \mathbb{R}\}=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)E\_2=\backslash \{(x,y,0):x,y\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash \}=\backslash operatorname\{Vect\}(e\_1,e\_2)$. Il s’agit d’un plan de dimension 2, donc la multiplicité géométrique de la valeur propre 2 vaut 2. La figure rassemble le calcul et le plan obtenu.

4. Pour contrôler le résultat, A(x, y, 0) = (2x, 2y, 0), soit deux fois le vecteur initial. La valeur propre 3 possède quant à elle le sous-espace $E_3=\mathrm{Vect}(e_3)E\_3=\backslash operatorname\{Vect\}(e\_3)$. Comme $E_2\oplus E_3={\mathbb{R}}^{3}E\_2\backslash oplus\; E\_3=\backslash mathbb\{R\}^3$, la matrice A est diagonalisable.

Pour trouver les directions conservées par une transformation. On résout le système homogène associé à f − λ Id. Chercher seulement un vecteur propre suffit pour exhiber une direction ; calculer tout le noyau est nécessaire pour connaître toutes les directions associées à λ.

Pour tester une diagonalisation. On calcule une base de chaque sous-espace propre, puis on compte le nombre total de vecteurs propres linéairement indépendants. Si ce nombre atteint la dimension de E, leur réunion forme une base propre ; sinon, une forme triangulaire ou de Jordan peut être plus adaptée, selon le corps et le cadre du problème.

Pour simplifier les itérations. Sur un vecteur du sous-espace $E_{\lambda }E\_\{\backslash lambda\}$, appliquer f plusieurs fois revient à multiplier successivement par λ. Ainsi, pour tout entier naturel n, $f^n(v)={\lambda }^{n}vf^n(v)=\backslash lambda^n\; v$. Hors d’une décomposition en sous-espaces propres, on peut recourir à un calcul matriciel direct ou, selon le cadre, à une forme de Jordan, au polynôme minimal ou à une relation de récurrence.

Sous-espace propre et vecteur propre. Un vecteur propre est un vecteur non nul particulier. Le sous-espace propre contient tous les vecteurs propres associés à la même valeur propre, ainsi que le vecteur nul. Dans l’exemple, (1, 0, 0) est un vecteur propre, tandis que tout le plan z = 0 est le sous-espace propre.

Sous-espace propre et noyau de f. Le noyau de f est le sous-espace propre associé à la valeur 0 seulement si 0 est une valeur propre. Pour λ = 2, il faut calculer le noyau de f − 2 Id, pas celui de f.

Sous-espace propre et sous-espace invariant. Un sous-espace invariant est seulement envoyé dans lui-même par f. Sur un sous-espace propre, f agit plus précisément comme la multiplication par un unique scalaire λ. Le plan engendré par des vecteurs propres de valeurs 2 et 3 peut être invariant sans être un sous-espace propre.

Le vecteur nul. Il appartient à chaque sous-espace propre, car toute application linéaire envoie 0 sur 0. Il n’est pourtant jamais appelé vecteur propre. Pour prouver que λ est une valeur propre, il faut donc exhiber une solution non nulle.

Le corps de base. Les valeurs propres et les sous-espaces propres dépendent du corps choisi. Une rotation réelle d’un quart de tour dans le plan n’a aucun sous-espace propre réel non nul, mais elle possède deux droites propres distinctes après passage aux nombres complexes. Il faut préciser le corps avant de conclure.

Une valeur propre répétée. Sa multiplicité géométrique ne dépasse pas sa multiplicité algébrique. Si une valeur propre de multiplicité algébrique 2 ne fournit qu’un sous-espace propre de dimension 1, il manque un vecteur propre indépendant : l’endomorphisme n’est pas diagonalisable.

Le critère complet de diagonalisation. L’égalité des multiplicités géométrique et algébrique doit être vérifiée pour chaque valeur propre, et le polynôme caractéristique doit se scinder sur le corps considéré. Le contrôle équivalent consiste à vérifier que la somme directe des sous-espaces propres a la dimension de E.

L’entrée valeur propre précise le scalaire λ qui détermine le noyau f − λ Id et l’action de f sur les directions propres.

Le glossaire Vecteur propre approfondit les vecteurs non nuls qui composent un sous-espace propre associé à une valeur fixée.

La fiche polynôme caractéristique montre d’où viennent les valeurs propres et comment se lit leur multiplicité algébrique.

L’article Multiplicité éclaire la notion de répétition utilisée pour comparer multiplicités algébrique et géométrique.