Vecteur propre

Imaginez une flèche dessinée sur une feuille, puis une transformation qui étire, comprime ou retourne toute la feuille. La plupart des flèches changent de direction. Certaines restent pourtant sur leur droite d'origine : seules leur longueur et, parfois, leur orientation changent. Ce sont des vecteurs propres. Le nombre qui mesure leur étirement est la valeur propre. Ainsi, avec la matrice de notre exemple, la direction (1, 1) est triplée, tandis que la direction (1, −1) reste inchangée.

Soit un endomorphisme A, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. Un vecteur non nul v est un vecteur propre de A s'il existe un scalaire λ tel que :Le scalaire λ est alors la valeur propre associée. Le vecteur nul est exclu, car il vérifierait cette égalité pour toute valeur de λ sans déterminer aucune direction.

Pour une matrice carrée, les valeurs propres sont les scalaires pour lesquels la matrice A − λI n'est pas inversible. Elles annulent donc le polynôme caractéristique :Pour une valeur propre fixée, les vecteurs propres associés, auxquels on ajoute le vecteur nul, forment l'espace propre ker(A − λI).

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. En dimension finie, A est diagonalisable sur le corps considéré si et seulement si l'espace possède une base constituée de vecteurs propres. Dans cette base, la matrice est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres, répétées selon les vecteurs choisis.

Cinq éléments interviennent. L'espace vectoriel fournit les directions possibles. L'endomorphisme A transforme ces vecteurs et doit revenir dans le même espace. Le vecteur v choisit une direction ; il doit être non nul. Le scalaire λ mesure l'action de A sur cette direction. Enfin, l'égalité Av = λv relie ces données et constitue le test décisif.

Une même valeur propre peut correspondre à toute une famille de directions : leur réunion avec le vecteur nul forme un sous-espace propre. Multiplier un vecteur propre par un scalaire non nul change son représentant, pas sa direction ni sa valeur propre. Pour la matrice de l'exemple, les droites engendrées par (1, 1) et (1, −1) suffisent à construire une base propre du plan.

On cherche les vecteurs propres de la matrice réelle A suivante. Les données sont ses quatre coefficients et l'identité I de taille 2 :

1. Calculer les valeurs propres. Le déterminant caractéristique vaut :Les valeurs propres sont donc 1 et 3.

2. Traiter la valeur 3. Résoudre (A − 3I)v = 0 impose que les deux coordonnées de v soient égales. On choisit v₊ = (1, 1), puis on vérifie Av₊ = (3, 3) = 3v₊.

3. Traiter la valeur 1. Résoudre (A − I)v = 0 impose que les coordonnées soient opposées. On choisit v₋ = (1, −1), puis on vérifie Av₋ = (1, −1) = v₋.

Les deux directions propres réagissent différemment : la première est triplée et la seconde est fixée. La représentation conserve la même échelle pour rendre cette différence vérifiable.

4. Contrôler la diagonalisation. Les vecteurs v₊ et v₋ ne sont pas colinéaires ; ils forment donc une base de ℝ². Dans cette base ordonnée, la matrice de A est diag(3, 1). Les deux multiplications directes précédentes contrôlent chaque colonne du résultat.

Pour calculer de grandes puissances d'une matrice diagonalisable, on passe dans une base propre : chaque coordonnée est simplement multipliée par une puissance de sa valeur propre. Si la matrice ne fournit pas assez de directions propres, une forme de Jordan ou une décomposition de Schur remplace cette méthode.

Dans une évolution linéaire répétée, les valeurs propres indiquent quelles composantes croissent, décroissent ou oscillent. On observe leurs modules : une valeur de module supérieur à 1 amplifie sa direction, tandis qu'un module inférieur à 1 l'atténue. Cette lecture suppose que l'état étudié se décompose dans les directions propres disponibles.

Pour une matrice réelle symétrique, les vecteurs propres peuvent être choisis orthonormés. Ils donnent alors des axes perpendiculaires adaptés à la transformation. Pour une matrice rectangulaire ou des données bruitées, la décomposition en valeurs singulières est souvent l'outil approprié, car elle ne demande pas une base de vecteurs propres de la matrice elle-même.

Vecteur propre et valeur propre. Le premier est un vecteur non nul ; la seconde est le scalaire qui le multiplie. Dans l'exemple, (1, 1) est un vecteur propre et 3 est sa valeur propre.

Vecteur propre et vecteur du noyau. Un vecteur propre appartient au noyau de A seulement lorsque sa valeur propre vaut 0. Ici, v₋ est propre pour la valeur 1, mais Av₋ n'est pas nul.

Vecteur propre et vecteur singulier. Un vecteur singulier est défini à partir d'une matrice rectangulaire et des matrices symétriques associées. Pour trancher, on vérifie Av = λv : si les dimensions empêchent cette égalité, il ne s'agit pas d'un vecteur propre de A.

Le vecteur nul est un faux candidat. L'égalité A0 = λ0 est vraie pour tout λ. Ce symptôme ne fournit ni direction ni valeur propre déterminée ; il faut toujours imposer v ≠ 0.

Une valeur répétée ne garantit pas une base. Une matrice 2 × 2 peut avoir une valeur propre double et un espace propre de dimension 1. Il manque alors un vecteur propre indépendant : la matrice n'est pas diagonalisable, même si son polynôme caractéristique est scindé.

Le corps de scalaires change la réponse. La rotation réelle d'un quart de tour dans le plan n'a aucun vecteur propre réel. Sur ℂ, elle possède les valeurs propres i et −i. Il faut donc annoncer si le calcul se fait sur ℝ ou sur ℂ.

Les calculs approchés brouillent les multiplicités. Des coefficients arrondis peuvent séparer artificiellement une valeur propre multiple ou déplacer une direction propre. Avec des données numériques, on examine les résidus Av − λv et le conditionnement plutôt que d'exiger une égalité décimale exacte.

La fiche sur la valeur propre approfondit le scalaire associé, les multiplicités et le rôle du polynôme caractéristique.