AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
polynôme caractéristique
Soient K un corps, E un espace vectoriel de dimension finie sur K, f un endomorphisme de E représenté par une matrice M à coefficients dans K, et I la matrice identité de même taille. Le polynôme caractéristique de f est le déterminant det(M − xI), où x est une indéterminée ; ce déterminant appartient à K[x]. Ce polynôme est de degré égal à la dimension de E et son terme de plus haut degré est ±1 selon la convention adoptée. Ses racines dans K sont précisément les valeurs propres de l'endomorphisme f, c'est-à-dire les scalaires λ de K pour lesquels il existe un vecteur non nul v tel que f(v) = λv. Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude des matrices : deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le polynôme caractéristique par un déterminant.
- Calculer et factoriser un exemple de matrice 2 × 2.
- Relier les racines aux valeurs propres et aux vecteurs propres.
- Distinguer les conventions de signe et les limites de cet invariant.
En clair
Prenez une matrice carrée et remplacez chacun des nombres de sa diagonale par ce nombre moins une même inconnue. Le déterminant obtenu devient un polynôme : le polynôme caractéristique.
Ses racines signalent les facteurs d'échelle particuliers de la transformation. Pour chacun d'eux, certains vecteurs non nuls sont multipliés par ce facteur. Le polynôme condense ainsi des informations importantes sur l'action de la matrice.
Définition
Soit un espace vectoriel E de dimension finie n sur un corps K. Un endomorphisme f de E est représenté, dans une base choisie, par une matrice carrée M de taille n. La matrice identité de même taille est notée In et x est une indéterminée. Le polynôme caractéristique, noté χf, appartient à K[x]. Avec la convention de la source, il vaut :
Son degré vaut n et son coefficient dominant vaut (−1)n. L'autre convention courante, det(xIn − M), donne un polynôme unitaire ; les deux conventions ont les mêmes racines. Un scalaire λ appartenant à K est une valeur propre exactement lorsque χf(λ) = 0. Si le polynôme ne se scinde pas sur K, ses autres racines apparaissent seulement dans un corps d'extension. Un changement de base remplace M par une matrice semblable sans modifier son polynôme caractéristique. La construction du déterminant reste possible pour une matrice carrée sur un anneau commutatif, mais l'interprétation par les valeurs propres demande alors de préciser le cadre algébrique.
De quoi c'est fait
La construction réunit quatre éléments. La matrice carrée M encode l'endomorphisme dans une base. La matrice identité In place l'indéterminée x sur chaque terme diagonal. Le déterminant transforme ensuite la matrice M − xIn en un polynôme. Enfin, les racines relient ce polynôme aux valeurs propres.
La taille n de M fixe le degré du polynôme. Chaque racine λ rend la matrice M − λIn non inversible ; son noyau contient alors les vecteurs propres associés. Les coefficients du polynôme dépendent des entrées de M, mais pas de la base choisie. Ces données suffisent à calculer les valeurs propres disponibles dans le corps considéré, pas à reconstruire entièrement la matrice.
Un exemple, pas à pas
On travaille sur le plan réel avec la matrice M dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). La matrice identité I2 a deux 1 sur sa diagonale. Le polynôme caractéristique de M est noté χM. On adopte la convention det(M − xI2).
1. On soustrait x aux deux termes diagonaux.
2. On calcule le déterminant de la matrice obtenue.
3. On développe puis on factorise le polynôme.
4. On résout l'équation caractéristique.
2. On calcule le déterminant de la matrice obtenue.
3. On développe puis on factorise le polynôme.
4. On résout l'équation caractéristique.
Les valeurs propres sont donc 1 et 3. Le vecteur de coordonnées (1, −1) vérifie Mv = 1v, tandis que le vecteur de coordonnées (1, 1) vérifie Mv = 3v. Pour contrôler le calcul, la somme des racines vaut 4, la trace de M, et leur produit vaut 3, le déterminant de M.
En pratique
Pour chercher les valeurs propres d'une petite matrice, on calcule son polynôme caractéristique puis on cherche ses racines. Si le polynôme se factorise mal dans le corps choisi, un calcul numérique ou un corps d'extension peut devenir nécessaire.
Pour comparer deux matrices, des polynômes caractéristiques différents prouvent immédiatement qu'elles ne sont pas semblables. Des polynômes identiques ne suffisent toutefois pas à conclure ; il faut alors examiner d'autres invariants, comme le polynôme minimal.
Pour contrôler un calcul, on compare les coefficients avec la trace et le déterminant. Avec la convention det(xIn − M), le coefficient de degré n − 1 est l'opposé de la trace, et le terme constant est le déterminant multiplié par (−1)n.
À ne pas confondre
Polynôme minimal. Le polynôme caractéristique vient d'un déterminant et a toujours pour degré la dimension de l'espace. Le polynôme minimal est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule l'endomorphisme. Pour la matrice identité de taille 2, ils valent respectivement (x − 1)2 et x − 1 avec la convention unitaire.
Valeur propre et vecteur propre. Une valeur propre est un scalaire, donc une racine du polynôme caractéristique dans le corps considéré. Un vecteur propre est un vecteur non nul du noyau de M − λIn. Dans l'exemple, 3 est la valeur propre et (1, 1) est un vecteur propre associé.
Limites et pièges
Convention de signe. Avec det(M − xIn), le coefficient dominant est (−1)n ; avec det(xIn − M), il vaut 1. Avant de comparer deux résultats, il faut donc relever la convention employée.
Racines absentes du corps de départ. Une matrice réelle peut avoir un polynôme caractéristique sans racine réelle. L'absence observée signifie alors qu'il n'existe pas de valeur propre réelle ; on peut étendre les scalaires aux nombres complexes.
Multiplicité d'une racine. Une racine double ne garantit pas deux directions propres indépendantes. Il faut calculer la dimension du noyau de M − λIn : elle peut être strictement inférieure à la multiplicité de λ dans le polynôme.
Invariant incomplet. Avoir le même polynôme caractéristique ne prouve pas que deux matrices sont semblables. La matrice identité de taille 2 et la matrice dont les lignes sont (1, 1) et (0, 1) ont toutes deux (x − 1)2, mais elles ne sont pas semblables.
Pour aller plus loin
valeur propre — Relier chaque racine du polynôme au facteur d'échelle qu'elle représente pour l'endomorphisme.
Vecteur propre — Passer d'une valeur propre au noyau qui fournit les directions propres associées.
matrices semblables — Comprendre pourquoi un changement de base conserve le polynôme caractéristique.
Polynôme scindé — Déterminer dans quel corps toutes les valeurs propres peuvent apparaître comme racines.
matrice compagnon — Voir comment construire une matrice à partir d'un polynôme unitaire donné.
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