Équation caractéristique

Imaginez une transformation qui étire certaines directions sans les faire tourner. Pour repérer ces directions privilégiées, on associe à sa matrice une équation. Lorsqu'une racine est associée à un vecteur propre non nul, elle mesure le facteur appliqué dans cette direction : c'est une valeur propre.

La même idée apparaît dans une équation différentielle ou une relation de récurrence linéaire : les racines de l'équation caractéristique indiquent les formes élémentaires à combiner pour construire les solutions.

Soit A une matrice carrée de taille n. On note I_n la matrice identité de même taille et λ un nombre scalaire. Le polynôme caractéristique de A est le déterminant de A − λI_n. L'équation caractéristique s'obtient en imposant que ce déterminant soit nul :

Les racines de cette équation qui appartiennent au corps de base, comptées avec leur multiplicité algébrique, sont les valeurs propres de A sur ce corps ; les autres peuvent apparaître après extension du corps, notamment aux complexes. La convention det(λI_n − A) définit aussi couramment le polynôme caractéristique ; elle change éventuellement son signe, mais pas ses racines. Le théorème de Cayley-Hamilton énonce que le remplacement de la variable par A donne la matrice nulle. Pour une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, ou une équation aux différences de même type, on remplace la solution par une forme exponentielle ou géométrique. Le polynôme obtenu est alors également appelé équation caractéristique : les racines simples donnent les formes de base, les racines multiples leur ajoutent des facteurs polynomiaux, et les racines complexes se traitent dans les complexes ou par des combinaisons réelles adaptées.

Cinq éléments interviennent dans la construction matricielle. La matrice carrée A représente la transformation étudiée. La matrice identité I_n fixe la même unité sur chaque direction. Le scalaire λ fait varier cette unité dans A − λI_n. Le déterminant transforme cette matrice dépendant de λ en un polynôme. Enfin, les racines sont les valeurs de λ pour lesquelles A − λI_n devient singulière.

La taille de A impose celle de I_n et le degré maximal du polynôme. Le déterminant est construit à partir des coefficients de A, tandis que ses zéros sélectionnent les valeurs propres. Ces données suffisent à former l'équation caractéristique et à calculer son spectre, mais elles ne fournissent pas à elles seules les vecteurs propres.

On étudie la matrice carrée A dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). La matrice identité I₂ a pour diagonale (1, 1), et λ désigne le nombre à déterminer.

1. On soustrait λ sur la diagonale, puis on calcule le déterminant.

2. On développe, puis on factorise le polynôme.

3. L'équation caractéristique s'annule donc pour λ = 1 et λ = 3. Les deux valeurs propres de A sont 1 et 3. Un contrôle direct donne A(1, −1) = (1, −1) et A(1, 1) = (3, 3) : chaque vecteur conserve sa direction et reçoit bien le facteur annoncé.

4. Le contrôle de Cayley-Hamilton consiste à remplacer λ par A dans le polynôme.

Pour une petite matrice carrée, on développe le déterminant et l'on résout le polynôme obtenu. Si la matrice est grande, ce développement symbolique devient coûteux ; un calcul numérique des valeurs propres est alors préférable lorsque des approximations suffisent.

Dans une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, on essaie une solution exponentielle. La substitution produit un polynôme caractéristique : une racine multiple ajoute des facteurs polynomiaux en t aux exponentielles et, lorsque les coefficients sont réels, des racines complexes conjuguées se combinent en solutions réelles avec sinus et cosinus. Si les coefficients varient, cette procédure ne s'applique plus telle quelle.

Pour une relation de récurrence linéaire à coefficients constants, on essaie une suite géométrique. Chaque racine simple r fournit une suite de base rⁿ ; si r est de multiplicité m, les suites de base sont n^krⁿ pour 0 ≤ k < m. Quand le second membre n'est pas nul, ces solutions décrivent d'abord la partie homogène ; il faut encore chercher une solution particulière.

Polynôme caractéristique et équation caractéristique. Le premier est l'expression en λ ; la seconde demande de l'égaler à zéro. Pour l'exemple, λ² − 4λ + 3 est le polynôme, tandis que λ² − 4λ + 3 = 0 est l'équation.

Équation caractéristique et équation différentielle. L'équation différentielle porte sur une fonction inconnue ; son équation caractéristique est une équation algébrique auxiliaire. La présence de dérivées tranche immédiatement : elles figurent dans la première, pas dans le polynôme auxiliaire.

Valeur propre et vecteur propre. Une racine λ est un nombre. Un vecteur propre est un vecteur non nul dont la direction est conservée par A. Dans l'exemple, 3 est une valeur propre, tandis que (1, 1) est un vecteur propre associé.

Matrice non carrée. Le déterminant de A − λI n'est pas défini si A n'est pas carrée. Il faut alors étudier une autre construction, par exemple les valeurs singulières, et ne pas parler de polynôme caractéristique de cette matrice.

Racine multiple. Une racine de multiplicité 2 ne garantit pas deux directions propres indépendantes. Il faut calculer les vecteurs propres associés avant de conclure que la matrice est diagonalisable.

Racines hors du corps choisi. Une matrice réelle peut avoir des racines caractéristiques complexes. L'absence de racine réelle ne signifie donc pas que le polynôme n'a aucune racine ; il faut préciser si l'on travaille sur les réels ou sur les complexes.

Convention de signe. Les expressions det(A − λI_n) et det(λI_n − A) diffèrent d'un facteur (−1)ⁿ. Si deux calculs ont des coefficients opposés mais les mêmes zéros, il faut comparer la convention avant de chercher une erreur.

Valeur propre — Relier chaque racine caractéristique aux directions que la transformation conserve.

théorème de Cayley-Hamilton — Voir pourquoi le polynôme caractéristique s'annule lorsqu'on y remplace la variable par la matrice.