AlgèbreThéorème · Glossaire
théorème de Cayley-Hamilton
Le théorème de Cayley-Hamilton est un résultat fondamental d’algèbre linéaire. Énoncé : soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps K. Tout endomorphisme u de E annule son propre polynôme caractéristique P_u, c’est-à-dire P_u(u) = 0. De même, toute matrice carrée M à coefficients dans K annule son polynôme caractéristique : P_M(M) = 0. Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée M de M_n(K) est défini par P_M(X) = dét(M − X I_n) = (−1)^n X^n + a_{n−1} X^{n−1} + ⋯ + a₁X + a₀. Il résulte de ce théorème que le polynôme minimal d’un endomorphisme est un diviseur de son polynôme caractéristique. Ce théorème est dû aux mathématiciens britanniques Arthur Cayley et William Rowan Hamilton.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes du théorème.
- Évaluer le polynôme caractéristique dans une matrice carrée.
- Refaire un calcul complet sur une matrice de taille 2.
- Distinguer polynôme caractéristique et polynôme minimal.
En clair
Prenez une matrice carrée et calculez le polynôme qui décrit ses valeurs caractéristiques. Le théorème affirme une propriété étonnante : si l’on remplace la variable de ce polynôme par la matrice elle-même, tous les termes se compensent et donnent la matrice nulle.
La matrice fournit donc sa propre relation de simplification. Dans l’exemple suivi ici, les puissances de la matrice pourront toujours être ramenées à une combinaison de la matrice et de l’identité.
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps K, et soit u un endomorphisme de E. Le polynôme caractéristique Pu est obtenu à partir d’une matrice représentant u. Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que l’évaluation de ce polynôme en u est l’endomorphisme nul : .
Sous sa forme matricielle, soit M une matrice carrée de taille n à coefficients dans K, et soit In la matrice identité de même taille. Avec la convention de la source, son polynôme caractéristique est . Il est de degré n et son coefficient dominant vaut (−1)n. Le résultat s’écrit alors , où 0n désigne la matrice nulle.
Le polynôme minimal est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule l’endomorphisme. Le théorème entraîne qu’il divise le polynôme caractéristique.
Le principe
Si M est une matrice carrée de taille n à coefficients dans un corps K, si In est l’identité et si son polynôme caractéristique est , alors ce polynôme annule M.
Autrement dit, lorsque , on remplace chaque puissance de X par la même puissance de M et le terme constant par a0In : .
Quand l'utiliser
Le cadre est celui d’un espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur un corps K, muni d’un endomorphisme u. Dans la version matricielle, il faut une matrice M carrée, à coefficients dans K. Son polynôme caractéristique et son évaluation en M sont alors définis dans le même cadre.
Une matrice rectangulaire fournit un contre-cas immédiat : M − XI n’est pas carrée, son déterminant n’est donc pas défini et cette formulation du théorème ne s’applique pas. Il faut d’abord étudier une application linéaire entre espaces distincts avec les outils adaptés, sans lui attribuer ce polynôme caractéristique.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice carrée M dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). La matrice identité I2 a des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs. Nous allons calculer PM, puis remplacer sa variable par M.
1. La matrice M − XI2 a pour lignes (2 − X, 1) et (1, 2 − X). Son déterminant vaut . Ainsi, PM(X) = X2 − 4X + 3.
2. Le carré M2 a pour lignes (5, 4) et (4, 5). De son côté, 4M − 3I2 a aussi pour lignes (5, 4) et (4, 5).
3. On obtient donc . Le contrôle est refaisable entrée par entrée : chaque coefficient de M2 − 4M + 3I2 vaut 0.
En pratique
Pour calculer une puissance élevée de la matrice de l’exemple, la relation M2 = 4M − 3I2 ramène chaque nouvelle puissance à une combinaison de M et de I2. Un calcul direct par multiplications successives reste possible, mais cette relation évite de recommencer tout le produit.
Pour chercher le polynôme minimal, le polynôme caractéristique donne une première liste de diviseurs possibles. Dans l’exemple, ni X − 1 ni X − 3 n’annule M ; le polynôme minimal est donc (X − 1)(X − 3), égal ici au polynôme caractéristique.
Pour vérifier un calcul, on peut évaluer le polynôme caractéristique dans la matrice. Si le résultat n’est pas nul, une erreur se trouve dans le déterminant, dans les produits matriciels ou dans la substitution du terme constant par un multiple de l’identité.
À ne pas confondre
Polynôme caractéristique et polynôme minimal. Le premier est calculé par le déterminant de M − XIn. Le second est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule M et divise le premier. Leur égalité dans l’exemple n’est donc pas leur définition.
Calculer PM(X) et calculer PM(M). Le premier calcul produit un polynôme en une variable. Le second remplace cette variable par la matrice M, et le terme constant par un multiple de In ; son résultat est la matrice nulle.
Limites et pièges
Convention de signe. La source définit PM(X) par dét(M − XIn). Avec dét(XIn − M), le polynôme est multiplié par (−1)n. Mélanger les deux conventions change les coefficients affichés, même si l’identité d’annulation demeure.
Terme constant. Dans PM(M), le nombre a0 devient a0In, et non une matrice dont toutes les entrées valent a0. Le symptôme d’une mauvaise substitution est un calcul incompatible avec le produit matriciel.
Domaine de l’énoncé. La formulation donnée suppose une dimension finie non nulle, ou une matrice carrée de taille n. Pour une matrice de taille 2 × 3, le déterminant caractéristique n’existe pas : il ne faut pas appliquer mécaniquement la formule.
Pour aller plus loin
Polynôme caractéristique — Pour approfondir le déterminant qui fournit le polynôme annulé par la matrice.
Polynôme minimal — Pour étudier le diviseur de plus petit degré signalé par le théorème.
Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire — Pour replacer les endomorphismes dans le cadre plus large des applications linéaires.
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