matrice cyclique

Prenez un vecteur et appliquez-lui plusieurs fois la même transformation linéaire. Si les vecteurs successivement obtenus suffisent à former une base de tout l’espace, le vecteur de départ est dit cyclique. La matrice de la transformation est alors cyclique.

Un seul vecteur et ses images décrivent donc toutes les directions de l’espace. Dans le plan, il suffit que le vecteur initial et sa première image ne soient pas alignés. Aux étapes suivantes, aucune nouvelle direction n’apparaît : elles se réécrivent avec la base déjà obtenue.

Soit E un espace vectoriel de dimension n supérieure ou égale à 1 sur un corps, et soit f un endomorphisme de E. L’endomorphisme f est cyclique lorsqu’il existe un vecteur u tel que ses n premiers itérés forment une base de E :

Le vecteur u est alors un vecteur cyclique. Une matrice carrée M est cyclique lorsque l’endomorphisme qu’elle représente l’est. Cela équivaut à l’existence d’une matrice inversible P pour laquelle P⁻¹MP est une matrice compagnon. Dans la base formée par les itérés de u, la matrice de f prend précisément cette forme compagnon. Selon la convention choisie pour ranger les coefficients, certains auteurs emploient sa transposée ; les deux formes sont semblables et décrivent la même propriété. Un autre critère, valable sur tout corps, est l’égalité entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique. La forme canonique de Frobenius ne comporte alors qu’un seul bloc compagnon.

Quatre éléments organisent la structure. La matrice carrée M représente un endomorphisme f d’un espace E de dimension n. Un candidat u fournit la suite de Krylov u, f(u), puis les itérés suivants. Les n premiers termes doivent être linéairement indépendants : ils constituent alors la base cyclique. Enfin, le n-ième itéré dépend de cette base et fournit la relation qui remplit la dernière colonne de la matrice compagnon.

Si les coefficients a₀, …, a_n−1 expriment cette dépendance, la relation est : $f^n(u)=-a_{0}u-a_{1}f(u)-\cdots -a_{n-1}{f}^{n-1}(u)f^n(u)=-a\_0u-a\_1f(u)-\backslash cdots-a\_\{n-1\}f^\{n-1\}(u)$. Elle détermine le polynôme annulateur de degré n. Comme la suite précédente est une base, ce polynôme est à la fois minimal et caractéristique. Ces données suffisent à reconstruire l’action de f sur chaque vecteur de E.

Dans le plan réel E, on considère l’endomorphisme représenté dans la base usuelle par la matrice A, et le vecteur u : Les seules données sont donc les quatre coefficients de A et les deux coordonnées de u.

1. On applique A à u : $Au=(0,1{)}^{\mathsf{T}}Au=(0,1)^\{\backslash mathsf\; T\}$.
2. Les colonnes u et Au forment la matrice identité, de déterminant 1. Elles constituent donc une base de E : u est cyclique.
3. On poursuit une fois pour lire la relation de fermeture : $A^{2}u=(-2,3{)}^{\mathsf{T}}=-2u+3AuA^2u=(-2,3)^\{\backslash mathsf\; T\}=-2u+3Au$.
4. Ainsi, le polynôme minimal et le polynôme caractéristique valent tous deux $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$.

Le contrôle est direct : le déterminant de $X{I}_2-AXI\_2-A$ redonne $X^2-3X+2X^2-3X+2$. La figure met en évidence les deux vecteurs de base et le fait que l’itéré suivant se réécrit avec eux.

Pour tester une matrice n × n, on choisit un vecteur u et l’on place u, Mu, …, Mⁿ⁻¹u en colonnes. Si cette matrice de Krylov a le rang n, le test fournit à la fois un vecteur cyclique et une base adaptée. Si le rang est plus petit, ce seul essai ne permet pas de conclure que M n’est pas cyclique.

Dans une base cyclique, toute puissance élevée de M se réduit à une combinaison des n premières. Pour calculer des puissances ou étudier les sous-espaces stables, cette représentation est souvent préférable à une base quelconque. Si le polynôme caractéristique se scinde en racines distinctes, une diagonalisation peut toutefois rendre les puissances encore plus immédiates.

Pour déterminer une forme canonique de Frobenius, on compare les polynômes minimal et caractéristique. Leur égalité signale qu’un seul bloc compagnon suffit. S’ils diffèrent, il faut plusieurs blocs invariants plutôt qu’une unique chaîne engendrée par un vecteur.

Une matrice circulante est construite par décalages cycliques de ses lignes. Ce motif de coefficients ne garantit pas l’existence d’un vecteur cyclique. Par exemple, la matrice identité de taille supérieure à 1 est circulante, mais son polynôme minimal vaut X − 1 tandis que son polynôme caractéristique vaut (X − 1)ⁿ.

Une matrice diagonalisable n’est pas nécessairement cyclique. Une matrice diagonale dont les valeurs propres sont toutes distinctes l’est, alors que l’identité en dimension supérieure à 1 ne l’est pas. Le critère décisif reste l’égalité des polynômes minimal et caractéristique.

Une matrice compagnon est une forme écrite dans une base précise. Une matrice cyclique peut avoir une apparence tout autre dans la base de départ ; elle devient compagnon après un changement de base inversible.

L’échec d’un vecteur candidat ne suffit pas à réfuter la cyclicité. Le symptôme est un rang inférieur à n pour sa matrice de Krylov. Il faut essayer un autre vecteur ou comparer directement les polynômes minimal et caractéristique.

Une valeur propre répétée n’interdit pas la cyclicité. Un unique bloc de Jordan de taille n est cyclique, tandis que la matrice scalaire de taille n supérieure à 1 ne l’est pas. Le nombre et la taille des blocs, et non la seule répétition d’une valeur propre, tranchent.

Le critère par valeurs propres suppose souvent que le polynôme caractéristique se scinde dans le corps considéré. Si ce n’est pas le cas, il ne faut pas conclure à partir d’une liste incomplète de valeurs propres : l’égalité des polynômes minimal et caractéristique reste valable sur le corps de départ.

Les conventions de matrice compagnon varient : les uns placent les coefficients dans la dernière colonne, les autres utilisent la transposée. Ce changement d’écriture ne modifie ni la cyclicité ni le polynôme associé ; il faut seulement annoncer la convention avant de comparer deux matrices.

La fiche matrice compagnon détaille la forme obtenue dans une base cyclique et le rôle de ses coefficients.

La fiche Polynôme minimal approfondit le plus petit polynôme qui annule un endomorphisme et fournit le critère central de cyclicité.

La fiche polynôme caractéristique montre comment calculer le polynôme auquel le minimal doit être égal dans le cas cyclique.